三线八角学习和识别的方法指引Word文档下载推荐.doc
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图1
如图1,直线AB、CD与EF相交(也可以说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截),形成了8个小于平角的角,我们通常将这样的几何模型简称为“三线八角”。
这8个角中,有些角是有公共顶点的,如∠1与∠3,∠5与∠8等,本文所探讨的是另一类角,如∠1与∠5,∠3与∠5,∠4与∠5等,这几对角没有公共的顶点,但都存在一边共线,也就是说每一个角都有一条边在直线EF上,即“同位角、内错角、同旁内角”,这是本章知识的重点,也是难点,对这一知识掌握的好与坏将直线影响到后续知识的学习。
实践证明,“图形分离法”在这里就能大显身手,使教与学的活动收到了事半功倍的效果。
在讲授“同位角、内错角、同旁内角”的基本概念时,为了能让学生比较直观地识别出这三种角,我就将图1分离出图2这些比较简单的图形。
再由图形的象形特征,指出这8个分离图形中有三类,分B
图2
(F型)
(Z型)
(U型)
别是“F型”、“Z型”、“U型”,分别对应于同位角、内错角、同旁内角。
这样一来,学生自然就容易掌握了。
在学完“同位角、内错角、同旁内角”的基本概念后,为了使学生加深理解,必然要进行一系列的练习。
纵观所有的练习题,不外乎以下三类:
(1)指出图中某一对角是同位角、内错角还是同旁内角;
(2)指出图中某一个角的所有同位角、内错角和同旁内角;
(3)指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。
下面就分这三类,分别介绍如何利用“图形分离法”来求解。
类型一:
指出图中某一对角是同位角、内错角还是同旁内角。
图3
M
N
9
10
11
【例1】如图3,∠1与∠6是直线____与直线____被直线____所截而形成的___________角。
图4
这类题目相对来讲,是最简单的了。
要得出正确答案,只要找到∠1与∠6的边,将图形分离出来,便会一目了然了。
如图4,不难看出,这是属于“Z型”,于是,就可以得出答案:
∠1与∠6是直线AC与直线EB(或EF)被直线AB(或AD)所截而形成的内错角。
类型二:
指出图中某一个角的所有同位角、内错角和同旁内角。
【例2】如图3,指出∠1的所有同位角、内错角和同旁内角。
〖分析〗我们知道,“三线八角”中的同位角、内错角和同旁内角都有一个共同特征,那就是有一边共线,即每一对角都有两条边与截线在同一直线上。
因此,∠1的两条边AD与AC都可能是“三线八角”中的截线,所以在解这道题时,要分两种情况考虑,一是把AD看成截线,二是把AC看成截线,相应的另一边则是被截线之一,再分别画出分离图形。
图5
如果把AD看成截线,则是直线AC、EF被直线AD所截(这时,以点C为顶点的角就不用管了),分离图形如图5,不难看出,∠1与∠8是同位角,∠1与∠6是内错角,∠1与∠2是同旁内角。
图6
如果把AC看成截线,则是直线AD、EF被直线AC所截(这时,以点B为顶点的角就不用管了),分离图形如图6,不难看出,∠1与∠9是内错角,∠1与∠3是同旁内角。
综上所述,就可以得到以下解答:
〖解〗∠1的同位角有:
∠8
∠1的内错角有:
∠6、∠9
∠1的同旁内角有:
∠2、∠3
类型三:
指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。
【例3】如图3,指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。
〖分析〗解答这类题目的关键是找准截线,而且图中的每一条线(直线、身线或线段)都有可能成为截线,这要具体问题具体分析。
一条线能否成为截线,就要看能否找到另两条线与这条线相交,并且有两个交点,如果能找到,则可以看成截线,否则,就不能看成截线。
如图3中的直线MN,与AD、AC都相交,但只有一个交点A,这时,EF就不是截线了。
图8
图7
图9
图3中共有4条线,只有AD、AC、EF可以看成截线,即MN、EF被AD所截(图7);
AC、EF被AD所截(图8);
MN、EF被AC所截(图9);
AD、EF被AC所截(图10);
AD、AC被EF所截(图11),分别画出分离图形如下:
图10
图11
以上各图中的同位角、内错角和同旁内角如下表所示:
同位角
∠5与∠7
∠10与∠8
∠1与∠8
无
∠2与∠9
∠6与∠3
内错角
∠5与∠2
∠10与∠6
∠1与∠6
∠3与∠4
∠11与∠9
∠1与∠9
∠8与∠3
同旁内角
∠5与∠6
∠10与∠2
∠1与∠2
∠11与∠3∠4与∠9
∠1与∠3
∠2与∠3
〖解〗同位角有:
∠5与∠7、∠10与∠8、∠1与∠8、∠2与∠9、∠6与∠3;
内错角有:
∠5与∠2、∠10与∠6、∠1与∠6、∠3与∠4、∠11与∠9、∠1与∠9、∠8与∠3;
同旁内角有:
∠5与∠6、∠10与∠2、∠1与∠2、∠11与∠3、∠4与∠9、∠1与∠3、∠2与∠3。
“图形分离法”增强了学生对图形的认知力,消除了学生对几何题的恐惧感,能大大提高分析问题与解决问题的速度。
一个难题之所以难,是因为做题者缺少解题思路,没有方法可依,一旦有了思路可循,难题自然也就不攻自破了,而“图形分离法”显然是解决部分几何难题的高手。
学生有了这个武器后,再来解决象“三线八角”这样的问题可谓是如虎添翼,胜券在握了。
随堂练习
1.填表:
基本图形
结构特征
形同字母
共同特点
公共顶点,有一条边。
识别关键
分清截线与被截线。
(如何识别?
)
2.如图,
(1)与是内错角。
(2)与是同旁内角。
(3)与是内错角。
3.如图,
(1)与是角。
(2)与是角。
(3)与是角。
(4)与是角。
(5)与是角。
(6)与是同位角吗?
三、课堂练习
1.如图,与是同位角吗?
为什么?
2.如图,在标有数字的所有角中,同位角、内错角、同旁内角,分别有哪些?
反思:
两角中共线的一边是截线,两角的另一边即为被截的两条直线。
四、课堂作业
A组
1.如图,的同位角有,内错角有,同旁内角有
2题
1题
3题
(1)同位角有。
(2)内错角有。
(3)同旁内角有。
同位角:
与内错角:
与
同旁内角:
B组
1.如图,为直线上一点,,平分。
(1)求的度数;
(2)推测与的位置关系。
2.如图,已知点在直线上,,,。
求的大小。
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