一圆为背景的相似三角形计算与证明教案文档格式.doc

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准确利用圆的性质证明相似三角形和与相似有关的计算

教学过程

相似三角形与圆综合探究题，综合性强，有一定的难度，有时还会作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握相似三角形与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路

【教材原型】

　如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．（浙教版九下P44作业题第5题）

解：

如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R.在Rt△ACB中，由勾股定

理得AB＝＝15.∵AC切半圆O于E，

∴OE⊥AC，∴∠OEA＝90°

＝∠C，∴OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，∴＝，∴＝，解得R＝，∴AO＝AB－OB＝15－R＝.

【思想方法】　利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长．

【中考变形】

1．[2015·

贵州]如图Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°

，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.

（1）求证：

△ADO∽△ACB；

（2）若⊙O的半径为1，求证：

AC＝AD·

BC.

证明：

（1）∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠C＝∠ADO＝90°

，∵∠A＝∠A，

∴△ADO∽△ACB；

（2）由

（1）知△ADO∽△ACB.∴＝，∴AD·

BC＝AC·

OD，∵OD＝1，∴AC＝AD·

BC.

2．[2014·

枣庄]如图Z13－3，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，

CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连结OD，若AB＝12，AC＝8.

（1）求OD的长；

（2）求CD的长．

（1）∵AB切⊙O于点B，∴AB⊥OB，∴△OBA是直角三角形，又∵AB＝12，AC＝8，

由勾股定理得OB2＋AB2＝OA2，即OD2＋122＝（OD＋8）2，解得OD＝5；

（2

（2）∵CD⊥OB，AB⊥OB，∴EC∥AB，∴＝，即＝，∴EC＝，又∵CD⊥OB，∴CD＝2EC＝.

[2015·

怀化]如图Z13－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，E是BC的中点，以AC为

直径的⊙O与AB边交于点D，连结DE.

（1）求证：

△ABC∽△CBD；

（2）求证：

直线DE是⊙O的切线．

（1）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°

，∴∠BDC＝90°

，又∵∠ACB＝90°

，

∴∠ACB＝∠BDC，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD；

（2）连结DO，如答图，∵∠BDC＝90°

，E为BC的中点，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，

又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°

，∴∠EDC＋∠ODC＝90°

即∠EDO＝90°

，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．

如图Z13－5，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.

（1）求证：

直线CD是⊙O的切线；

（2）若DE＝2BC，求AD∶OC的值．

（1）证明：

如答图，连结DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB. 又∵CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB，∴∠CDO＝∠CBO＝90°

，即OD⊥CD.又∵点D在⊙O上，∴直线CD是⊙O的切线；

（2）由

（1）知△COD≌△COB，∴CD＝CB.∵DE＝2BC，∴DE＝2CD.∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO，

∴＝＝＝.

[2014·

东营]如图Z13－6，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D.F是为BA延长线上一点，若∠CDB＝∠BFD.

FD是⊙O的一条切线；

（2）若AB＝10，AC＝8，求DF的长．

∵∠CDB＝∠BFD，∠CDB＝∠CAB，∴∠BFD＝∠CAB，∴FD∥AC，∵OD垂直于弦AC，∴OD⊥FD，∴FD是圆O的一条切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，AB＝10，∴∠ACB＝90°

，半径OA＝OB＝OD＝5，在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，由勾股定理得BC＝6，∵OD⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝4，∵OA＝OB，∴OE＝BC＝3，∵FD∥AE，∴△OAE∽△OFD，∴＝，∴FD＝·

AE＝×

4＝.

∴DF的长为.

湖北改编]如图Z13－7，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连结AC，BC，PB∶PC＝1∶2.

AC平分∠BAD；

（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由．

如答图，连结OC，∵PE是⊙O的切线，∴OC⊥PE，∵AE⊥PE，∴OC∥AE，

∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠BAD；

（2）线段PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°

，∴∠BAC＋∠ABC＝90°

，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC，∵∠PCB＋∠OCB＝90°

，∴∠PCB＝∠PAC，∵∠P是公共角，∴△PCB∽△PAC，∴＝，∴PC2＝PB·

PA，

∵PB∶PC＝1∶2，∴PC＝2PB，∴PA＝4PB，∴AB＝3PB.

达州]如图Z13－8，直线PQ与⊙O相交于点A，B，BC是⊙O的直径，BD平分∠CBQ交⊙O于点D，过点D作DE⊥PQ，垂足为E.

DE与⊙O相切；

（2）连结AD，已知BC＝10，BE＝2，求sin∠BAD的值．

连结OD，如答图，∵BD平分∠CBQ交⊙O于点D，∴∠CBD＝∠QBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB∴∠ODB＝∠QBD，∴OD∥BQ，∵DE⊥PQ，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；

（2）如答图，连结CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°

，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°

∵∠CBD＝∠QBD，∴Rt△BCD∽△BDE，∴＝，即BD2＝BC·

BE＝20，∴BD＝2.

在Rt△BCD中，sin∠C＝＝，∵∠BAD＝∠C，∴sin∠BAD＝sin∠C＝.

遂宁]已知：

如图Z13－9，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连结PD.

PD是⊙O的切线；

PD2＝PB·

PA；

（3）若PD＝4，tan∠CDB＝，求直径AB的长．

连结OD，OC，∵PC是⊙O的切线， ∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°

.∵直径AB⊥CD，∴O，P是CD垂直平分线上的点，∴OD＝OC，PD＝PC，∵OP＝OP，∴△ODP≌△OCP，

∴∠ODP＝∠OCP＝90°

，∴PD是⊙O的切线；

（2）∵PD是⊙O的切线，∴∠PDB＝∠A，又∵∠DPB＝∠APD，∴△DPB∽△APD，∴PD∶PA＝PB∶PD，∴PD2＝PB·

又∵tan∠CDB＝，∴tan∠A＝＝∵△DPB∽△APD，∴PD∶PA＝PB∶PD＝BD∶DA＝1∶2，又∵PD＝4，∴PA＝8，PB＝2，∴AB＝6.

【中考预测】

　如图Z13－10，在△ABC中，∠ABC＝90°

，边AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，连结BE.

（1）若∠C＝30°

，求证：

BE是△DEC外接圆的切线；

（1）如答图，取CD的中点O，连结OE.

∵点E为Rt△ABC斜边AC的中点，

∴BE＝AC＝AE.

∴∠A＝∠ABE＝90°

－∠C＝90°

－30°

＝60°

.

∵OE＝OC，

∴∠OEC＝∠C＝30°

∴∠BEO＝180°

－∠AEB－∠OEC＝90°

即BE⊥OE.

又∵OE为⊙O的半径，

∴BE是△DEC外接圆的切线；

（2）设CD的长为x，则BC＝x＋1.

∵BE＝，点E为Rt△ABC斜边AC的中点，

∴EC＝BE＝，AC＝2，∠DEC＝∠ABC＝90°

∵∠ECD＝∠BCA，

∴△CED∽△CBA.

∴＝，即＝.

∴x2＋x－6＝0

∴x＝2或x＝－3（不合题意，舍去）．

即△DEC外接圆的直径为2.

作业

1．已知⊙O的半径为3厘米，⊙的半径为5厘米．⊙O与⊙相交于点D、E．若两圆的公共弦DE的长是6厘米（圆心O、在公共弦DE的两侧），则两圆的圆心距O的长为

 （  ）

  （A）2厘米  （B）10厘米   （C）2厘米或10厘米   （D）4厘米

2．如图，两个等圆⊙O和⊙的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于 （  ）

  （A）   （B）   （C）    （D）

3．如图，在△ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为 （  ）

  （A）1    （B）2     （C）1+    （D）2－

4．已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为 （  ）

  （A）18π （B）9π     （C）6π      （D）3π

5、如图△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截AB被截成三等分则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）



6．已知，如图，以△ABC的边AB作直径的⊙O，分别并AC、BC于点D、E，弦FG∥AB，S△CDE︰S△ABC＝1︰4，DE＝5cm，FG＝8cm，求梯形AFGB的面积．

7．如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D为切点，且MN∥AB，MN＝a，ON、CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．

9．如图，在直角梯形ABCD中，，，AB=AD，∠BAD的平分线交BC于E，连接DE．

（1）说明点D在△ABE的外接圆上；

（2）若∠AED=∠CED，试判断直线CD与△ABE外接圆的位置关系，并说明理由．

课

后

反

思

圆一直是初中阶段数学学习的一个难点，因为圆中知识点很多，综合性也很强。

而且中考中圆常常和四边形，三角形，相似三角形，甚至代数中的二次函数结合起来考察学生的能力。

把圆中涵盖的知识点融入到几个基本图形中，并教会学生在复杂的图形中提炼出基本图形。

另外一定要帮助学生进行解题方法的训练和总结。

让他们熟悉圆中常用的数学方法