上海交通大学线性代数期末考试题0708-1线代(B)-A卷Word文件下载.doc

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d.。

3．n维向量线性无关的充要条件是（）

a．存在不全为零的数，使；

b．中任意两个向量都线性无关；

c．中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；

d．中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。

4．设是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中为任意常数）（）

b.；

c.；

d.。

5．已知矩阵，伴随矩阵，且有非零解，则（）

b.或；

c.；

d.且。

6．设是非齐次线性方程组的两个不同的解，则以下选项中一定是对应

特征值的特征向量为（）

b．；

c．；

d．。

二填空题（每题3分，共18分）

7．设行列式，是中元素的代数余子式，则＝。

8．设是实对称可逆矩阵，则将化为的线性变换为____________________。

9．设矩阵有特征值6，2，2，且能相似于对角阵，则＝___________。

10．已知是维实列向量，矩阵，为非零常数，则为正交矩阵的充分必要

条件为。

11.设，，其中互不相同，，

则线性方程组的解是___________。

12．若实二次型为正定二次型,

则的取值范围为。

三计算题（每题8分，共48分）

13．计算阶行列式：

。

14．已知线性方程组，

（1）试问：

常数取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？

（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解。

15．设，，已知线性方程组有解但不唯一。

试求：

（1）的值；

（2）正交矩阵为对角矩阵。

16．设矩阵的伴随矩阵，且。

求矩阵。

17．已知线性空间的基到基的过渡矩阵为，且

，，；

（1）基；

（2）在基下有相同坐标的全体向量。

18．设为三阶实对称矩阵，且满足已知对应特征值的特征向量有

。

试求：

矩阵，。

其中为自然数。

四证明题（每题8分，共16分）

19．设为阶矩阵，已知秩。

试证：

（1）线性方程组同解；

（2）。

20．设是维非零实向量，，为使得的任意常数。

以下结论若正确，请证明；

若不正确，请举出反例。

（1）若与正交，且与也正交，则与正交。

（2）若与线性无关，且与也线性无关，则与线性无关。

参考答案（线代）

一选择题bdcadb

二填空题7.－11；

8.；

9.；

10．；

11.；

12.。

三计算题

13.。

14.

（1）

无穷多解；

唯一解；

无解（4分）

（2）（8分）

15.解：

（1）方程组有解但不唯一，所以，故。

（2分）

（2）特征值为，，。

（4分）

，。

（8分）

16．由，有，得。

（2分）

用，左右乘方程的两端，得（4分）

（8分）

17．

（1）设,,则，故

，，；

（2分）

（2）设所求向量的坐标为，则，即，

因为为可逆矩阵，得，由（4分）

得，（6分）

故（8分）

18．，特征值1、1、－2，（2分）

，特征向量，（4分）

（6分）

（8分）

四证明题

19．证：

（1）因为，所以的解都是的解，又，

故它们的解空间相同，因此它们同解。

（2），所以的解都是的解。

反之，

若存在，使，但。

则由

，知是的解；

，知不是的解。

与

（1）的结论矛盾。

故同解，。

故。

20．证：

（1）因为，所以成立。

（2）不成立。

如，，，。

A卷第8页共6页