高三数学一轮复习讲义 等差数列及其前n项和 新人教A版.docx

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高三数学一轮复习讲义等差数列及其前n项和新人教A版

2019-2020年高三数学一轮复习讲义等差数列及其前n项和新人教A版

自主梳理

1．等差数列的有关定义

（1）一般地，如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的__差__等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为__an＋1－an＝d__________（n∈N*，d为常数）．

（2）数列a，A，b成等差数列的充要条件是__A＝________，其中A叫做a，b的___等差中项_______．

2．等差数列的有关公式

（1）通项公式：

an＝_a1＋（n－1）d　_______，an＝am＋_（n－m）d_______（m，n∈N*）．

（2）前n项和公式：

Sn＝_na1＋d_________＝____________.

3．等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝n2＋n.

4．等差数列的性质

（1）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则有__am＋an＝ap＋aq________，

特别地，当m＋n＝2p时，___am＋an＝2ap___________.

（2）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为__2d______

（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为__md____的等差数列.

（4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列.

（5）等差数列的单调性：

若公差d>0，则数列为__递增数列__________；

若d<0，则数列为____递减数列______；若d＝0，则数列为___常数列_____．

（6）等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．

（7）S2n－1＝（2n－1）an.

（8）若n为偶数，则S偶－S奇＝d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中（中间项）.

5.等差数列的最值

在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最______值；若a1<0，d>0，则Sn存在最______值.大　小

6．方法与技巧

等差数列的判断方法有：

（1）定义法：

an＋1－an＝d（d是常数）⇔{an}是等差数列．

（2）中项公式：

2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）⇔{an}是等差数列．

（3）通项公式：

an＝pn＋q（p，q为常数）⇔{an}是等差数列．

（4）前n项和公式：

Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）⇔{an}是等差数列．

（5）在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d；③a－d，a＋d，a＋3d等可视具体情况而定．

（6）在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解.

自我检测

1．已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为（　　）

A．130B．260C．156D．168

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于（　　）

A．1B.C．2D．3

3设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（　　）

A．1B．－1C．2D.

4．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7等于（　　）

A．12B．13C．14D．15

5．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于（　　）

A.18B.20C.22D.24

6.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝__24______.

7.有两个等差数列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列{an}的通项公式an＝___.12n－10_______.

8.已知两个数列x，a1，a2，a3，y与x，b1，b2，y都是等差数列，且x≠y，则的值为_______.

9．数列{an}是等差数列，若＜－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝（　　）．

A．11B．17C．19D．21

解析　由题意，可知数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以公差小于零，故a11＜a10，又因为＜－1，所以a10＞0，a11＜－a10，由等差数列的性质有a11＋a10＝a1＋a20＜0，a10＋a10＝a1＋a19＞0，所以Sn取得最小正值时n＝19.

题型一　等差数列的基本量的计算

例1　等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50，

（1）求通项an；

（2）若Sn＝242，求n.

解　

（1）由an＝a1＋（n－1）d，a10＝30，a20＝50，

得方程组　解得所以an＝2n＋10.

（2）由Sn＝na1＋d，Sn＝242.

得12n＋×2＝242.解得n＝11或n＝－22（舍去）．

　设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.

（1）若S5＝5，求S6及a1；

（2）求d的取值范围.

解　

（1）由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8.

所以解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.

（2）方法一　∵S5S6＋15＝0，∴（5a1＋10d）（6a1＋15d）＋15＝0，

即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.

因为关于a1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d2－8（10d2＋1）＝d2－8≥0，

解得d≤－2或d≥2.

方法二　∵S5S6＋15＝0，∴（5a1＋10d）（6a1＋15d）＋15＝0，

即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.故（4a1＋9d）2＝d2－8.所以d2≥8.

故d的取值范围为d≤－2或d≥2.

探究提高　

（1）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.

（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.

变式训练1　　设等差数列{an}的公差为d（d≠0），它的前10项和S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列，求公差d和通项公式an.

解　由题意，知

即

∵d≠0，∴a1＝d.解得a1＝d＝2，∴an＝2n.

已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值.

解　

（1）设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d.

由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.

从而an＝1＋（n－1）×（－2）＝3－2n.

（2）由

（1）可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.

由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，

即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.

题型二　等差数列的判定或证明

例2　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn＝（n∈N*）.

（1）求证：

数列{bn}是等差数列；

（1）证明　∵an＝2－（n≥2，n∈N*），bn＝.

∴n≥2时，bn－bn－1＝－＝－

＝－＝1.又b1＝＝－.

∴数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列.

（2）解　由

（1）知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋，

设函数f（x）＝1＋，易知f（x）在区间和内为减函数.

∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.

探究提高　1．证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：

（1）定义法：

an＋1－an＝d；

（2）等差中项法：

2an＋1＝an＋an＋2.就本例而言，所用方法为定义法.

2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断．

（1）通项法：

若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B，则{an}是等差数列．

（2）前n项和法：

若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式（A，B是常数），则{an}为等差数列．

3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．

变式训练2

（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝（n≥2），a1＝2.

求证：

是等差数列；求an的表达式.

证明　由Sn＝，得＝＝＋2，

∴－＝2，∴是以即为首项，以2为公差的等差数列.

解　由知＝＋（n－1）×2＝2n－，∴Sn＝，

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝；

当n＝1时，a1＝2不适合an，

故an＝

（2）已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2且n∈N*）．

求a2，a3的值．

是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？

若存在，求出λ的值；若不存在，说

解　∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.

假设存在实数λ，使得数列{}为等差数列．

设bn＝，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3.

∴2×＝＋.∴＝＋，

解得λ＝－1.

事实上，bn＋1－bn＝－

＝[（an＋1－2an）＋1]＝[（2n＋1－1）＋1]＝1.

综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{}为首项为2、公差为1的等差数列．

题型三　等差数列性质的应用

例3　若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．

解　方法一　设此等差数列为{an}共n项，

依题意有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，①

an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146.②

根据等差数列性质，得

a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an.

将①②两式相加，得（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋（a3＋an－2）＋（a4＋an－3）＋（a5＋an－4）＝5（a1＋an）＝180，

∴a1＋an＝36.

由Sn＝＝＝360，得n＝20.

所以该等差数列有20项．

方法二　设此等差数列共有n项，首项为a1，公差为d，

则S5＝5a1＋d＝34，①

Sn－Sn－5＝[＋na1]－[（n－5）a1＋d]

＝5a1＋（5n－15）d＝146.②

①②两式相加可得10a1＋5（n－1）d＝180，

∴a1＋d＝18，

代入Sn＝na1＋d＝n＝360，

得18n＝360，∴n＝20.所以该数列的项数为20项．

变式训练3　已知数列{an}是等差数列．

（1）若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；

（2）若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．

　解　

（1）∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，

∴S3n＝3（S2n－Sn）＝54.

（2）设项数为2n－1（n∈N*），则奇数项有n项，偶数项有n－1项，中间项为an，则

S奇＝＝n·an＝44，

S偶＝＝（n－1）·an＝33，

∴＝.∴n＝4，an＝11.

∴数列的中间项为11，项数为7.

题型四　等差数列的前n项和及综合应用

例4　

（1）在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；

（2）已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和.

解　

（1）方法一　∵a1＝20，S10＝S15，

∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.

∴a