定积分及其应用(精讲精练)Word文档格式.doc
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y
aobx
b
（a）
（b）
（c）
图5.1
现在求时，在连续区间上围成的曲边梯形的面积A（如图5.1（a）,（b）所示），用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积，我们按下述步骤来计算：
（1）分割——将曲边梯形分割成小曲边梯形
在区间内任意插入个分点：
，把区间分成个小区间：
，第个小区间的长度为，过每个分点作垂直于轴的直线段，它们把曲边梯形分成个小曲边梯形（图5.2），小曲边梯形的面积记为.
ox
图5.2
（2）近似——用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积
在小区间上任取一点，作以为底，为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，则
.
（3）求和——求个小矩形面积之和
个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和，即
（4）取极限
令，当分点无限增多且时，和式的极限便是曲边梯形的面积A，即
2．变速直线运动的路程
设一物体作变速直线运动，其速度是时间的连续函数，求物体在时刻到间所经过的路程.
我们知道，匀速直线运动的路程公式是：
，现设物体运动的速度是随时间的变化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：
（1）分割——把整个运动时间分成个时间段
在时间间隔内任意插入个分点：
，把分成个小区间：
，第个小区间的长度为第个时间段内对应的路程记作.
（2）近似——在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程
在小区间上任取一点,用速度近似代替物体在时间上各个时刻的速度，则有
（3）求和——求个小时间段路程之和
将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即
令，当分点的个数无限增多且时，和式的极限便是所求的路程.即
从上面两个实例可以看出，虽然二者的实际意义不同，但是解决问题的方法却是相同的，即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似这样的实际问题还有很多，我们抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.
5.1.2定积分的概念
定义5.1设函数在区间上有定义，任取分点
把区间任意分割成个小区间，第个小区间的长度为，记.在每个小区间上任取一点作和式，当时，若极限存在（这个极限值与区间的分法及点的取法无关），则称函数在上可积，并称这个极限为函数在区间上的定积分，记作，即
.
其中，“”称为被积函数，“”称为被积表达式，称为积分变量，称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间.
根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为：
①曲边梯形的面积是曲线在区间上的定积分.
（）.
②变速直线运动的物体所走过的路程等于速度函数在时间间隔上的定积分.
关于定积分的定义作以下几点说明：
⑴闭区间上的连续函数是可积的；
闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的.
⑵定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数和积分区间，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有.
⑶在定积分的定义中，有，为了今后计算方便，我们规定：
容易得到.
5.1.3定积分的几何意义
设是上的连续函数，由曲线及直线所围成的
曲边梯形的面积记为.由定积分的定义及5.1.1实例1，容易知道定积分有如下几何意义：
（1）当时，
（2）当时，
（3）如果在上有时取正值，有时取负值时，那么以为底边，以曲线
为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于轴的上方或下方.这时
定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有
其中分别是图5.3中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.
例5.1.1利用定积分的几何意义，证明.
证令，显然，
则由和直线，
所围成的曲边梯形是单位圆位于轴上方的半圆.
如图5.4所示.因为单位圆的面积，
所以半圆的面积为.
由定积分的几何意义知：
.
5.1.4定积分的性质
由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，但易推证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的.
性质5.1.1被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即
性质5.1.2两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即
这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情形.
性质5.1.3（积分的可加性）对任意的点，有
注意的任意性意味着不论是在之内，还是在之外，这一性质均成立.
性质5.1.4如果被积函数为常数）,则
特别地,当时,有.
性质5.1.5（积分的保序性）如果在区间上,恒有，则
性质5.1.6（积分估值定理）如果函数在区间上有最大值和最小值,则
性质5.1.7（积分中值定理）如果函数在区间上连续,则在内至少有一点,使得
证因在内连续，所以在内有最大值和最小值，
由性质5.1.6知：
从而有
这就说：
是介于与之间的一个实数.
由连续函数的介值定理1.10知：
至少存在一点，使得.即
.
oabx
图5.5
注性质5.1.7的几何意义是:
由曲线
直线和轴所围成
曲边梯形的面积等于区间上某个矩形
的面积,这个矩形的底是区间,矩形的
高为区间内某一点处的函数值，
如图5.5所示.
显然，由性质5.1.7可得，称为函数在区间上的平均值.这是求有限个数的平均值的拓广.
性质5.1.8（对称区间上奇偶函数的积分性质）设在对称区间上连续,则有
①如果为奇函数,则；
②如果为偶函数,则.
例5.1.2估计定积分的值.
解设,，令,得驻点，比较及区间端点的函数值,有
.
显然在区间上连续,则在上的最小值为,最大值为，由定积分的估值性质,得
例5.1.3比较定积分与的大小.
解因为在区间上,有,由定积分保序性质,得
定积分
定积分的原始思想可以追溯到古希腊．古希腊人在丈量形状不规则的土地的面积时，先尽可能地用规则图形（例如矩形和三角形）把要丈量的土地分割成若干小块，并且忽略那些边边角角的不规则的小块．计算出每一小块规则图形的面积，然后将它们相加，就得到土地面积的近似值．后来看来，古希腊人丈量土地面积的方法就是面积思想的萌芽．
在十七世纪之前，数学家们没有重视古希腊人的伟大思想，当时流行的方法是不可分量法．这种方法认为面积和体积可以看作是由不可分量的运动产生出来的．这种方法没有包含极限概念，也没有采用代数与算数的方法．因此，不可分量的思想没有取得成功．虽然积分概念未能很好得建立起来，然而，到牛顿那个年代，数学家们已经能够计算许多简单的函数的积分．
虽然十三世纪就出现了利用分割区间作和式并计算面积的朦胧思想（奥雷姆，法国数学家）．但是建立黎曼积分（即定积分）的严格定义的努力基本上由柯西开始．他比较早地用函数值的和式的极限定义积分（他还定义了广义积分）．但是柯西对于积分的定义仅限于连续函数．1854年，黎曼指出了积分的函数不一定是连续的或者分段连续的，从而把柯西建立的积分进行了推广．他把可积函数类从连续函数扩大到在有限区间中具有无穷多个间断点的函数．黎曼给出关于黎曼可积的两个充分必要条件．其中一个是考察函数的振幅；
另一个充分必要条件就是对于区间的每一个划分，构造积分上和与积分下和:
S=s=
其中M和m分别是函数在每个子区间上的最大值和最小值.在黎曼可积的充分必要条件就是
至今，这个定理仍然经常出现在微积分和数学分析的教科书中．
达布（法国数学家）对于黎曼的积分的定义作了推广．他严格地证明了不连续函数，甚至有无穷多个间断点的函数，只要间断点可以被包含在长度可以任意小的有限个区间之内就是可积分的．
在牛顿和莱布尼兹之前，微分和积分作为两种数学运算、两种数学问题，是分别加以研究的．虽然有不少数学家已经开始考虑微分和积分之间的联系，然而只有莱布尼兹和牛顿（各自独立地）将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者之间内在的直接的联系，指出微分和积分是互逆的两种运算．而这正是建立微积分的关键所在．牛顿在1666年发表的著作《流数简论》中，从确定面积率的变化入手，通过反微分计算面积，把面积计算看作是求切线的逆．从而得到了微积分基本定理．在1675年，莱布尼兹就认识到，作为求和过程的积分是微分的逆．他于1675—1676年给出了微积分基本定理
并于1693年给出了这个定理的证明．
简单直观并且便于应用，是黎曼积分的优点.黎曼积分的缺点主要是理论方面的．一方面,黎曼积分的可积函数类太小．基本上是“分段连续函数”构成的函数类．另一方面，黎曼积分在处理诸如函数级数的逐项积分、重积分的交换积分顺序以及函数空间的完备性这样一些重要的理论问题时，存在许多不可克服的障碍于．是在上一世纪末到本世纪初，一种新的积分理论—勒贝格积分应运而生．它是黎曼积分的推广，勒贝格积分的建立是积分学领域的重大发展．它在很大程度上克服了黎曼积分在理论上遇到的上述困难．勒贝格积分是近代分析数学发展的重要动力和基础．
习题5.1
1.用定积分表示由曲线与直线及轴所围成的曲边梯形的面积.
2.利用定积分的几何意义,作图证明：
（1）
（2）
3.不计算定积分,比较下列各组积分值的大小.
（1）,
（2）,
（3）,（4）,
4.利用定积分估值性质,估计下列积分值所在的范围.
（1）
（2）
（3）（4）
5.试用积分中值定理证明.
5.2定积分的基本公式
定积分就是一种特定形式的极限，直接利用定义计算定积分是十分繁杂的，有时甚至无法计算.本节将介绍定积分计算的有力工具——牛顿—莱布尼兹公式.
5.2.1变上限定积分
定义5.2设函数在区间上连续，对于任意，在区间上也连续，所以函数在上也可积.显然对于上的每一个的取值，都有唯一对应的定积分和对应，因此是定义在上的函数.记为
，.
称叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.
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