水质评价问题的数学模型Word文档下载推荐.docx

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（1）不考虑元素间的相互作用的影响

（2）短期内重金属元素的物理、化学变化及迁移对周围环境影响不大

（3）假设附录中所给该村井水水质监测的数据真实，不会有大的偏差。

（4）不考虑历史沉积的重金属的影响

三、符号说明

分别表示溶解氧，高锰酸盐指数，总磷，氨氮，类大肠菌群

表示水质分级标准中的Ⅰ类，Ⅱ类，Ⅲ类。

一致性比例

一致性指标

平均随机一致性指标

U

评定结果的指标集

九项项污染指标值

区间最小值

RI与n有如下关系，如表

1

2

3

4

5

6

7

8

9

000.580.901.121.241.321.411.45

（4）权重计算方法

计算矩阵的特征根及特征向量，将所求的特征向量单位化后得到的就是权重值。

4.1.2TOPSIS分析法

此外，该问题还可以应用TOPSIS方法是一种逼近理想解的排序法。

其基本思想是把综合评价问题转化为求各种评价对象之间的差异——“距离”，即按照一定的法则先确定理想解与负理想解，然后通过计算每一个被评价对象与理想解和被理想解之间的距离，再加以比较得出其排序。

4.1.3两种方法差异分析

由于方法的不同，对数据的使用及舍入也有所不同，加之分析问题的角度不同，所以结果可能出现差异，不过可以确定，尽管计算方法存在不同，如果两种方法都计算准确的话，结果不会有太大出入。

4.2问题二的分析

通过仔细分析题目的要求，得知题目要求我们找出对该村的四个井的地表水分别进行水质等级判断。

于是我首先想到了利用模糊数学模型中的一个偏大型柯西分布隶属函数去处理，据模糊识别原则中的择近原则，同时运用格贴近度公式，求解出四个与I类、Ⅱ类、Ⅲ类哪个水质等级标准更符合。

五、模型的建立和求解

5.1问题一求解

先对各评价因子进行无量纲化处理，再分别应用层次分析法和TOPSIS分析法建立模型求解。

5.1.1各评价因子数据的无量纲化处理

在利用SPSS统计软件数据进行聚类分析的时候，因为单位不统一需要进行无量纲化处理，我们采用均值化方法，即每一个变量除以该变量的平均值，即

，

（1）

标准化以后各变量的平均值都为1，标准差为原始变量的变异系数。

该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息，差异程度越大的变量对综合分析的影响也越大。

对极大型指标溶解氧的指标做极小变换，即取倒数变换，其中。

用EXCEL方法作出标准化前后的各变量数据如表1所示：

表1各指标原数据及无量纲化后数据

样品编号

溶解氧

高锰酸盐指数

总磷

氨氮

类大肠菌群

东井

0.196

23.8

0.78

10.7

900

西井

1.11

16.2

0.98

13

1805

南井

0.156

1.9

0.5

0.05

600

北井

0.139

1.7

0.3

968

平均值

0.40025

10.9

0.64

5.9375

1068.25

无量纲化处理后的各指标数据

0.489694

2.183486

1.21875

1.802105

0.842499

2.773267

1.486239

1.53125

2.189474

1.689679

0.389756

0.174312

0.78125

0.008421

0.561666

0.347283

0.155963

0.46875

0.906155

水质分级标准

I类

0.13

0.02

0.15

200

Ⅱ类

0.17

0.1

2000

Ⅲ类

0.2

10000

0.166667

0.106667

0.55

4066.667

无量纲化处理

0.1875

0.272727

0.04918

1.02

0.9375

0.909091

0.491803

1.2

1.5

1.875

1.818182

2.459016

表中所示分别为四个水井的五项评价因子的源数据和无量纲化后数据，以及水质分级标准的源数据和无量纲化后数据。

五种评价因子数据表示如下：

5.1.2.模型一层次分析法

（1）建立层次结构模型

水质的分级是由一个相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。

层次分析法为这个问题的决策提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。

（2）构造判断矩阵

层次结构反映因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心中，它们各有一定的比例。

设现在要比较的5个因子对水质的影响大小，我们采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法，即每次取两个因子和，以表示和对水质的影响大小之比，全部比较结果用矩阵表示，称为之间的成对比判断矩阵，容易看出，若与对的影响为，则与对的影响为。

设分别表示溶解氧，高锰酸盐指数，总磷，氨氮，粪大肠菌群，则准则层的判断矩阵为

根据题中所给数据得到决策层的判断矩阵如下，其中分别表示东井，西井，南井，北井

11/211

2133

11/312

11/31/21

11/21/31/3

211/41/4

3411

1112

1123

11/211

1/21/311

1146

1127

1/41/212

1/61/71/21

11/211

2132

11/311

（3）层次单排序及一致性检验

对应于问题一，则是用MATLAB工具计算出矩阵对应于最大特征值的特征向量，归一化处理后即为措施层中三个等级对于准则层中五个污染物指标相对重要性的排序权值。

同时，可以由是否等于矩阵的阶数来检验矩阵是否为一致矩阵。

由于特征根连续的依赖于，故比大得越多，的非一致性程度也就越严重，对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出在对因素的影响中所占的比重。

对所得到的判断矩阵做一次一致性检验，以便决定是否能接受它。

判断矩阵的一致性检验步骤如下：

（1）计算一致性指标

，其中为判断矩阵的阶数5

通过MATLAB编程（见附录1）得到判断矩阵的为5.6579，为0.1645。

（2）查找相应的平均随机一致性指标。

对于，的值如表2所示：

表2：

（3）计算一致性比例

当时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的。

由上两个步骤算出为0.0762，则该判断矩阵的一致性是可以接受的。

（4）层次总排序及一致性检验

由上面得到的措施层各等级对准则层中各个衡量指标的权重向量,最终要得到最底层中各方案对于目标的排序权重，从而进行排序。

总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。

准则层（层）包含共5个元素，他们的层次总排序权重分别为，方案层包含3个因素,它们关于上一层次单排序权重分别为，关于总目标的权重按照来计算。

最后得到各水井的综合评价为

根据模型的特点，可知，最后综合评价值越小，对应水井的水质越好，则可以看出，北京的水质最好，东井和南井水质次之，西井水质最差。

5.1.3模型二TOPSIS分析方法

TOPSIS方法是一种逼近理想解的排序法。

TOPSIS分析方法的解题步骤如下:

（1）设有4个目标，5个属性，对其中第个目标的第个属性的评估值为,则初始判断矩阵V为：

（2）由于各个指标的量纲可能不同，需要对决策矩阵进行归一化处理：

其中

=/

（3）根据DELPHI法获取专家群体对属性的信息权重矩阵，形成加权判断矩阵：

=

（4）根据加权判断矩阵获取评估目标的正负理想解：

正理想解：

负理想解：

其中，为效益型指标，为成本型指标.

（5）计算各目标值与理想值之间的欧氏距离：

（6）计算各个目标的相对贴近度：

（7）依照相对贴近度的大小对目标进行排序，形成决策依据.，表3如下：

表3各水井的决策依据

目标

粪大肠菌群

5.1

6.9

13.0

6.4

1.9

0.15

7.2

1.7

0.03

<

DL

初始条件：

根据表l的数据生成初始判断矩阵V

利用德尔菲法则，生成集结后的群体偏好矩阵：

正、负理想解如下：

（8）结果（计算贴近度）：

，

依据从小到大的顺序对决策方案进行排序可知，结果表明，北井水质最好，南井水质较好，东井水井一般，西井水质最差。