西南专版届九年级数学下册281锐角三角函数教案新版新人教版文档格式.docx

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锐角三角函数概念的理解．

一、问题引入

问题：

操场上有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°

，并已知目高为1米，然后他很快就算出旗杆的高度了．

你想知道小明是怎样算出的吗？

师：

通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度，实际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们一起来学习锐角三角函数．

二、新课教授

为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°

，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？

分析：

问题转化为在Rt△ABC中，∠C＝90°

，∠A＝30°

，BC＝35m，求AB.

根据“在直角三角形中，30°

角所对的直角边等于斜边的一半”，即

＝＝，

可得AB＝2BC＝70m，即需要准备70m长的水管．

思考1：

在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？

学生按与上面相似的过程，自主解决．

结论：

在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.

思考2：

如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°

，∠A＝45°

，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？

在Rt△ABC中，∠C＝90°

，由于∠A＝45°

，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得

AB2＝AC2＋BC2＝2BC2，

AB＝BC，

＝＝＝.

在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°

从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°

，当∠A＝30°

时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值．当∠A＝45°

时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：

当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？

探究：

任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°

，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系？

你能解释一下吗？

由于∠C＝∠C＝90°

，∠A＝∠A′＝α，

所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则

＝.

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．

正弦的概念：

，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即

sinA＝＝.

例如，当∠A＝30°

时，sinA＝sin30°

＝；

当∠A＝45°

时，sinA＝sin45°

注意：

1．sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体．

2．正弦的三种表示方式：

sinA，sin56°

，sin∠DEF.

3．sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位．

提问：

∠B的正弦怎么表示？

要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？

sinB＝＝.

思考3：

一般地，当∠A取一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？

如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°

教师用类比的方法引导学生思考、讨论．

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的邻边与斜边的比是一个固定值．

余弦的概念：

，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即

cosA＝＝.

思考4：

当∠A取一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个固定值？

学生自立探究，得出结论，教师给出新的概念．

正切的概念：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，a，b分别是∠A的对边和邻边．我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即

tanA＝＝.

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．

三、举例应用，巩固新知

例1　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，求sinA和sinB的值．

解：

如图

（1），在Rt△ABC中，由勾股定理得

AB＝＝＝5.

因此sinA＝＝，

如图

（2），在Rt△ABC中，由勾股定理得

AC＝＝＝12.

例2　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．

由勾股定理得

AC＝＝＝8，

因此　sinA＝＝＝，

cosA＝＝＝，

tanA＝＝＝.

四、练习新知

为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得数据如图所示，则该坡道倾斜角α的正切值是（　　）

A.　　　B．4　　　C.　　　D.

答案　C

五、课堂小结

锐角三角函数概念及表示方法：

sinA＝，cosA＝，

tanA＝.

本节课采用问题引入法，从探究性问题入手，让学生主动参与学习活动，用特殊值探究锐角的三角函数时，学生们表现得非常积极，从作图、找边角、计算各个方面进行探究，学生发现：

特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出，然后探究：

三角函数与直角三角形的边、角有什么关系？

三角函数与三角形的形状有关系吗？

整节课都在紧张而愉快的气氛中进行．学生非常活跃，大部分人都能积极动脑、积极参与．

第2课时　30°

角的三角函数值

熟记30°

角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．

1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．

2．培养学生观察、比较、分析、概括的能力．

经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度．

30°

角的三角函数值．

与特殊角的三角函数值有关的计算．

一、复习巩固

.

（1）a，b，c三者之间的关系是________；

（2）sinA＝________，cosA＝________，tanA＝________；

sinB＝________，cosB＝________，tanB＝________．

（3）若∠A＝30°

，则＝________．

二、共同探究，获取新知

（1）探索30°

观察一副三角尺，其中有几个锐角？

它们分别等于多少度？

生：

一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°

sin30°

等于多少呢？

你是怎样得到的？

与同伴交流．

＝.sin30°

表示在直角三角形中，30°

角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关．我们不妨设30°

角所对的边长为a（如图所示），根据“直角三角形中30°

角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边长等于2a.根据勾股定理，可知30°

角的邻边长为a，所以sin30°

＝＝.

cos30°

等于多少？

tan30°

呢？

＝＝.tan30°

我们求出了30°

角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°

，它们的三角函数值分别是多少？

你是如何得到的？

求60°

角的三角函数值可以利用求30°

角的三角函数值的三角形．因为30°

角的对边和邻边分别是60°

角的邻边和对边，利用上图，很容易求得sin60°

＝＝，cos60°

＝＝，tan60°

师生共同分析：

我们一起来求45°

角的三角函数值．含45°

角的直角三角形是等腰直角三角形．如图，设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边为a.由此可求得

sin45°

＝＝＝，cos45°

＝＝＝，

tan45°

＝＝1.

教师多媒体课件出示：

　　　三角函数

角度α　　

sinα

cosα

tanα

45°

1

60°

　　师：

这个表格中的30°

角的三角函数值需要熟记．另一方面，要能够根据30°

角的三角函数值说出相应的锐角的大小．

第一列，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大．

第二列，余弦值随角度的增大而减小．

第三列呢？

第三列是30°

角的正切值，首先45°

角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°

＝1比较特殊．随着角度的增大，正切值也在增大．

（2）进一步探究锐角的三角函数值．

∵sinA＝，cosA＝，

sinB＝，cosB＝，

∴sinA＝cosB，cosA＝sinB.

∵∠A＋∠B＝90°

，

∴∠B＝90°

－∠A，

即sinA＝cosB＝cos（90°

－∠A），

cosA＝sinB＝sin（90°

－∠A）．

任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值．

三、例题讲解，巩固新知

例1　计算：

（1）sin30°

＋cos45°

；

（2）sin260°

＋cos260°

－tan45°

＝＋＝；

＝（）2＋（）2－1

＝＋－1

＝0.

例2　

（1）如图

（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AB＝，BC＝，求∠A的度数；

（2）如图

（2），AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO＝