人教版七年级数学提优训练 绝对值知识点与经典例题.docx

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人教版七年级数学提优训练绝对值知识点与经典例题

绝对值的性质及化简

【绝对值的几何意义】一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数

的绝对值记作.（距离具有非负性）

【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0.

注意：

①取绝对值也是一种运算，运算符号是“||”，求一个数的绝对值，就是根

据性质去掉绝对值符号.

②绝对值的性质：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相

反数；的绝对值是.

③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④任何一个有理数都是由两部分组成：

符号和它的绝对值，如：

符号是负

号，绝对值是.

【求字母的绝对值】

①②③

利用绝对值比较两个负有理数的大小：

两个负数，绝对值大的反而小.

绝对值非负性：

|a|≥0

如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.

例如：

若，则，，

【绝对值的其它重要性质】

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，

即，且；

（2）若，则或；

（3）；；

（4）；

（5）||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

的几何意义：

在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．

的几何意义：

在数轴上，表示数．对应数轴上两点间的距离．

【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。

【绝对值不等式】

（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数

式类型来解；

（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：

A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：

换元法、讨论法、平方法；

B）利用不等式：

|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的

式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。

【绝对值必考题型】

例1：

已知|x－2|＋|y－3|＝0，求x+y的值。

【例题精讲】

（一）绝对值的非负性问题

1.非负性：

若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.

2.绝对值的非负性；若，则必有，，

【例题】若，则。

总结：

若干非负数之和为0，。

【巩固】若，则

【巩固】先化简，再求值：

．

其中、满足.

（二）绝对值的性质

【例1】若a＜0，则4a+7|a|等于（　　）

A．11aB．-11aC．-3aD．3a

【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（　　）

A．1，0B．正数C．非正数D．非负数

【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（　　）

A．7或-7B．7或3C．3或-3D．-7或-3

【例4】若，则x是（　　）

A．正数B．负数C．非负数D．非正数

【例5】已知：

a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（　　）

A．1-b＞-b＞1+a＞aB．1+a＞a＞1-b＞-b

C．1+a＞1-b＞a＞-bD．1-b＞1+a＞-b＞a

【例6】已知a．b互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（　　）

A．2B．2或3C．4D．2或4

【例7】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（　　）

A．6B．-4C．-2a+2b+6D．2a-2b-6

【例8】若|x+y|=y-x，则有（　　）

A．y＞0，x＜0B．y＜0，x＞0

C．y＜0，x＜0D．x=0，y≥0或y=0，x≤0

【例9】已知：

x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（　　）

A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号

【例10】给出下面说法：

（1）互为相反数的两数的绝对值相等；

（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；

（3）若|m|＞m，则m＜0；

（4）若|a|＞|b|，则a＞b，其中正确的有（　　）

A．

（1）

（2）（3）B．

（1）

（2）（4）

C．

（1）（3）（4）D．

（2）（3）（4）

【例11】已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则

|c-b|-|b-a|-|a-c|=_________

【巩固】知a、b、c、d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。

【例12】若x＜-2，则|1-|1+x||=______

若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|=________

【例13】计算=．

【例14】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：

|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=________

【例15】已知数的大小关系如图所示，

则下列各式：

①；②；③；④；

⑤．其中正确的有．（请填写番号）

【巩固】已知：

abc≠0，且M=，当a，b，c取不同值时，M有____

种不同可能．

当a、b、c都是正数时，M=______；

当a、b、c中有一个负数时，则M=________；

当a、b、c中有2个负数时，则M=________；

当a、b、c都是负数时，M=__________．

【巩固】已知是非零整数，且，求的值

（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）

零点分段法的一般步骤：

找零点→分区间→定符号→去绝对值符号．

【例题】阅读下列材料并解决相关问题：

我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，

如化简代数式时，可令和，分别求得

（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点

值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下中情况：

⑴当时，原式

⑵当时，原式

⑶当时，原式

综上讨论，原式

（1）求出和的零点值

（2）化简代数式

解：

（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4． 

（2）当x＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；

 当-2≤x＜4时，|x+2|+|x-4|=6；

 当x≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2．

【巩固】化简

1.2.的值

3.．4.

（1）；

变式5.已知的最小值是，的最大值为，求的值。

（四）表示数轴上表示数、数的两点间的距离．

【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与，3与5，与，与3.

并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？

答：

.

（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离

可以表示为.

（3）结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为，取得最小值时x的取值范围为.

（4）满足的的取值范围为.

（5）若的值为常数，试求的取值范围．

（五）、绝对值的最值问题

例题1:

1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

       2）当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？

       3）当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？

       4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

例题2：

1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

       2）当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？

       3）当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？

       4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：

、

1）非负数：

0和正数，有最小值是0

2）非正数：

0和负数，有最大值是0

3）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤0

4）x是任意有理数，m是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0，

-|x+m|≤0有最大值是0

（可以理解为x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0）

5）x是任意有理数，m和n是常数，则|x+m|+n≥n，有最小值是n

  -|x+m|+n≤n，有最大值是n

（可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右（n>0）或者向左（n<0）平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|≥0，有最小值是0，则|x-1|+3的最小值是3）

总结：

根据3）、4）、5）可以发现，

当绝对值前面是“+”号时，代数式有最小值，

有“-”号时，代数式有最大值.

例题1：

1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

       2）当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？

      3）当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？

        4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

解：

1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0

    2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3

    3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3

    4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3

   有最小值是-3

例题2：

1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

       2）当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？

       3）当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？

       4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

思考：

若x是任意有理数，a和b是常数，则

1）|x+a|有最大（小）值？

最大（小）值是多少？

此时x值是多少？

2）|x+a|+b有最大（小）值？

最大（小）值是多少？

此时x值是多少？

3）-|x+a|+b有最大（小）值？

最大（小）值是多少？

此时x值是多少？

例题3：

求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围

例题4：

求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？

例题4：

求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值

归档总结：

若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值

若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值 

例题5：

求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？

【例题6】

|x-1|的最小值

|x-1|+|x-2|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x