高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形41任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书理苏教版Word文档下载推荐.docx

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l＝|α|·

r，扇形的面积公式：

S＝lr＝|α|·

r2.

3.任意角的三角函数

任意角α的终边与单位圆交于点P（x，y）时，sinα＝y，cosα＝x，tanα＝（x≠0）.

三个三角函数的初步性质如下表：

三角函数

定义域

第一象限符号

第二象限符号

第三象限符号

第四象限符号

sinα

R

＋

－

cosα

tanα

{α|α≠kπ＋，k∈Z}

4.三角函数线

如图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.

三角函数线

有向线段MP为正弦线；

有向线段OM为余弦线；

有向线段AT为正切线

【知识拓展】

1.三角函数值的符号规律

三角函数值在各象限内的符号：

一全正、二正弦、三正切、四余弦.

2.任意角的三角函数的定义（推广）

设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝（x≠0）.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.（　×

　）

（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.（　√　）

（3）不相等的角终边一定不相同.（　×

（4）终边相同的角的同一三角函数值相等.（　√　）

（5）若α∈（0，），则tanα>

α>

sinα.（　√　）

（6）若α为第一象限角，则sinα＋cosα>

1.（　√　）

1.（教材改编）在0°

到360°

之间与－120°

终边相同的角是________.

答案　240°

解析　与－120°

终边相同的角α＝－120°

＋k·

（k∈Z），由0°

≤－120°

＜360°

，k∈Z，得≤k<

，又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°

＋360°

＝240°

2.（教材改编）圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为________.

答案　6π

解析　扇形的面积为×

62×

＝6π.

3.（教材改编）已知角α的终边与单位圆的交点为P（，－），则sinα＋cosα＝________.

答案　－

解析　因为sinα＝y＝－，cosα＝x＝，

所以sinα＋cosα＝－＋＝－.

4.设集合M＝{α|α＝－，k∈Z}，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________.

答案　{－，－，，}

解析　分别取k＝－1，0，1，2，得α＝－，－，，.

故M∩N＝{－，－，，}.

5.函数y＝的定义域为________.

答案　（k∈Z）

解析　∵2cosx－1≥0，

∴cosx≥.

由三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分所示）.

∴x∈（k∈Z）.

题型一　角及其表示

例1　

（1）若α＝k·

＋45°

（k∈Z），则α在第________象限.

（2）已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角α用集合可表示为________________.

答案　

（1）一或三　

（2）（k∈Z）

解析　

（1）当k＝2n（n∈Z）时，α＝2n·

＝n·

，α为第一象限角；

当k＝2n＋1（n∈Z）时，α＝（2n＋1）·

＋225°

，α为第三象限角.

所以α为第一或第三象限角.

（2）∵在[0，2π）内，终边落在阴影部分角的集合为

，

∴所求角的集合为（k∈Z）.

思维升华　

（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.

（2）利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限.

（1）终边在直线y＝x上的角的集合是__________________.

（2）（2016·

苏州模拟）若角θ的终边与角的终边相同，则在[0，2π]内终边与角的终边相同的角的个数为________.

答案　

（1）{α|α＝＋kπ，k∈Z}　

（2）3

解析　

（1）在（0，π）内终边在直线y＝x上的角为，

∴终边在直线y＝x上的角的集合为

{α|α＝＋kπ，k∈Z}.

（2）∵θ＝＋2kπ（k∈Z），

∴＝＋（k∈Z），

依题意0≤＋≤2π，k∈Z，∴－≤k≤，

∴k＝0，1，2，即在[0，2π]内终边与角的终边相同的角为，，共三个.

题型二　弧度制

例2　

（1）（2016·

南京模拟）若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.

答案　

解析　设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为r，∴圆心角的弧度数是＝.

（2）已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.

①若α＝100°

，r＝2，求扇形的面积；

②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.

解　①S＝lr＝αr2＝×

π×

4＝π.

②由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r，

S＝l·

r＝（20－2r）·

r＝－（r－5）2＋25，

当r＝5时，S的最大值为25.

当r＝5时，l＝20－2×

5＝10，α＝＝2（rad）.

即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2.

思维升华　应用弧度制解决问题的方法

（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.

（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

（1）将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是________.

（2）若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________.

答案　

（1）－　

（2）

解析　

（1）将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的，即为－×

2π＝－.

（2）如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，

作OM⊥AB垂足为M，

在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，

∴AM＝r，AB＝r，∴l＝r，

由弧长公式得α＝＝＝.

题型三　三角函数的概念

命题点1　三角函数定义的应用

例3　

（1）（2016·

徐州模拟）若角θ的终边经过点P（－，m）（m≠0）且sinθ＝m，则cosθ的值为________.

（2）点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为____________.

解析　

（1）由题意知r＝，

∴sinθ＝＝m，

∵m≠0，∴m＝±

，∴r＝＝2，

∴cosθ＝＝.

（2）由三角函数定义可知Q点的坐标（x，y）满足

x＝cos＝－，y＝sin＝.

∴Q点的坐标为（－，）.

命题点2　三角函数线

例4　函数y＝lg（2sinx－1）＋的定义域为__________________.

答案　[2kπ＋，2kπ＋）（k∈Z）

解析　要使原函数有意义，必须有

即如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2kπ＋，2kπ＋）（k∈Z）.

思维升华　

（1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；

已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标.

（2）利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.

（1）已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα>

0.则实数a的取值范围是________.

（2）满足cosα≤－的角α的集合为________.

答案　

（1）（－2，3]　

（2）{α|2kπ＋π≤α≤2kπ＋π，k∈Z}

解析　

（1）∵cosα≤0，sinα>

0，

∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.

∴　∴－2<

a≤3.

（2）作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋π≤α≤2kπ＋π，k∈Z}.

6.数形结合思想在三角函数中的应用

典例　

（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C（2，1）时，的坐标为________.

盐城模拟）函数y＝lg（3－4sin2x）的定义域为________.

思想方法指导　在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数不等式的解集.

解析　

（1）如图所示，

过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，即圆心角∠PCA＝2，

则∠PCB＝2－，所以PB＝sin（2－）＝－cos2，

CB＝cos（2－）＝sin2，

所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，

所以＝（2－sin2，1－cos2）.

（2）∵3－4sin2x＞0，

∴sin2x＜，

∴－＜sinx＜.

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分所示），

答案　

（1）（2－sin2，1－cos2）

（2）（k∈Z）

1.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是________.

①2kπ＋45°

（k∈Z）②k·

＋π（k∈Z）

③k·

－315°

（k∈Z）④kπ＋（k∈Z）

答案　③

解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有③正确.

2.若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是________.

①sinα＋cosα＜0②tanα－sinα＜0

③cosα－tanα＜0④tanαsinα＜0

答案　②

解析　α是第三象限角，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，则可排除①、③、④.

3.（2016·

镇江一模）已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P（x，），且cosα＝x，则tanα＝________.

解析　∵P（x，），∴y＝.

又cosα＝x＝，∴r＝2，

∴x2＋（）2