北师大版必修二第一章立体几何初步基础测试题.docx
《北师大版必修二第一章立体几何初步基础测试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版必修二第一章立体几何初步基础测试题.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
北师大版必修二第一章立体几何初步基础测试题
北师大版必修二第一章立体几何初步基础测试题
一、单选题
1．若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（）
A．异面B．相交C．平行D．平行或异面
2．长方体中，若，，，且此长方体内接于球，则球的表面积为（）
A．B．C．D．
3．设.表示两条直线，.表示两个平面，则下列命题正确的是（）
A．若.，则
B．若.，则
C．若，，则
D．若，，则
4．如图，在三棱柱中，底面，，，那么三棱锥的体积是（）
A．B．C．4D．8
5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为（）
A．B．C．D．3
6．已知直线a与平面，能使的充分条件是（）
①②③④
A．①②B．②③C．①④D．②④
7．在三棱锥A-BCD中，已知AB、AC、AD两两垂直，且BCD是边长为2的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为（）
A．12πB．4πC．6πD．π
8．下列几何体不是旋转体的为（）
A．圆柱B．棱柱C．球D．圆台
9．如图，在正方体的六个面中，与底面垂直的面有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．在直三棱柱中，，，则该直三棱柱的外接球的体积是（）
A．B．C．D．
11．如图，长方体中，，，，分别为，上的动点，.点在棱上，且，若平面，则二面角的正切值为（）
A．1B．C．D．不确定
12．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（）
A．6B．32C．12D．62
二、填空题
13．已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为________.
14．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥C—MBD的体积为_______.
15．如图，几何体是正方体，若过、、三点的平面与底面的交线为，则与的位置关系是______.
16．有如下命题：
①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；
②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
③平行于同一条直线的两条直线平行；
④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．
三、解答题
17．如图，在三棱柱中，，点，分别是，的中点，平面平面．
（1）求证：
；
（2）求证：
//平面．
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，侧面PAB底面，，
（1）求证：
平面
（2）过AC的平面交PD于点M，若，求三棱锥的体积．
19．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，且
（1）求证：
平面平面；
（2）求证：
∥平面.
20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为3，，底面．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
21．已知正方体，
（1）证明：
平面；
（2）求异面直线与所成的角．
22．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，对角线与交于点，侧面是边长为2的等边三角形，为的中点.
（1）证明：
平面；
（2）若侧面底面，求点到平面的距离.
参考答案
1．C
【分析】
利用线面垂直的性质定理进行判断.
【详解】
由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线平面，直线平面时，直线与直线平行.
故选：
C.
2．C
【分析】
由长方体的对角线公式，算出长方体对角线的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的表面积公式即可得到，该球的表面积．
【详解】
长方体中，，，，
长方体的对角线，
长方体的各顶点都在同一球面上，
球的一条直径为，可得半径，
因此，该球的表面积为
故选：
C．
3．D
【分析】
利用线面平行的位置关系可判断A；根据线面之间的位置关系可判断B、C；利用面面垂直的判定定理可判断D.
【详解】
A错，∵线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面，
B错，∵与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行，
C错，∵两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；
D对，∵线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直，
故选：
D.
4．A
【分析】
椎体的体积公式，因此要找到三棱锥的高和底面，由题知为高，底面为直角三角形，代入公式计算即可.
【详解】
底面
为三棱锥的高
为底面
故选：
A.
5．B
【分析】
画出直观图，然后计算出最长的棱长.
【详解】
画出三视图对应的几何体的直观图如下图所示四棱锥.
，
，，
，.
所以最长的棱长为.
故选：
B
【点睛】
本小题主要考查三视图，属于基础题.
6．D
【分析】
根据线面的平行关系，结合相关性质，逐个分析判断即可得解.
【详解】
对①，若，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；
对②，若，则，平面的平行具有传递性，故②正确；
对③，若，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；
对④，，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确.
综上：
②④正确，
故选：
D.
7．D
【分析】
三棱锥的侧棱两两垂直，则底面为等边三角形，所以三棱锥可以补成正方体，且两者的外接球是同一个，求出正方体的外接球半径即可求出外接球的体积.
【详解】
解：
由条件可知，三棱锥为正三棱锥，且可以补成正方体，两者的外接球是同一个，正方体的体对角线就是外接球的直径.
设，则，，即有，所以
则三棱锥的外接球的直径为，
则，所以体积.
故选：
D
8．B
【分析】
由旋转体的概念逐项判断即可得解.
【详解】
由题意，圆柱、球、圆台均为旋转体，棱柱为多面体.
故选：
B.
9．D
【分析】
根据正方体的结构特征，可直接得出结果.
【详解】
因为正方体中，侧棱都和底面垂直，因此侧面都垂直于底面；
故在正方体的六个面中，与底面垂直的面有个，分别为四个侧面.
故选：
D.
【点睛】
本题主要考查正方体的结构特征，属于基础题型.
10．B
【分析】
由题意可知将直三棱柱可以补成一个正方体，则直三棱柱的外接球就是正方体的外接球，而正方体外接球的直径是正方体的对角线，从而可得答案
【详解】
解：
因为直三棱柱中，，，
所以将直三棱柱补成棱长为4的正方体，如图所示
直三棱柱的外接球就是正方体的外接球，设外接球的半径为，则
，解得，
所以外接球的体积为，
故选：
B
【点睛】
此题考查求直三棱柱外接球的体积，考查数学转化思想，属于基础题
11．B
【分析】
根据条件先求，再结合图形，找到二面角的平面角，即可得解.
【详解】
连接交于，连接，
由平面，平面，
且平面平面，
所以，
上取，使得，
所以，，
又因为，
所以，
可得，
连接，由，所以，所以平面，
所以，
所以为的平面角，
所以，
故选：
B.
【点睛】
本题考查了立体几何求二面角问题，以及通过空间线面关系求值，考查了空间想象能力和计算能力，属于基础题.
12．C
【分析】
结合斜二测法的画法原理求出，，再结合面积公式求解即可.
【详解】
由斜二测画法特点得，
为直角三角形，
，
故选：
C.
【点睛】
本题考查由直观图求平面图的面积，属于容易题.
13．
【分析】
由题意知圆锥侧面展开图是以母线为半径的圆，由它的弧对应圆锥底面的周长即可求底面半径与母线长的比；
【详解】
设圆锥的母线长是R，则扇形的弧长是，设底面半径是r，则，所以，所以圆锥的底面半径与母线长的比为1∶4.
故答案为：
【点睛】
本题考查了圆锥，利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长求母线与底面半径的比；
14．24
【分析】
利用顶点转化的方法，由计算出几何体的体积.
【详解】
.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.
15．
【分析】
根据正方体的性质可得，通过线面平行的判定定理和线面平行的性质定理可以判断出与的位置关系.
【详解】
解析连接平面平面，平面，又平面，平面平面.
故答案为：
【点睛】
本题考查了线面平行的性质定理和判定定理，考查了推理论证能力，属于基础题.
16．①②③
【分析】
根据公理可得出结论.
【详解】
公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理；
公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理；
公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；
公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理.
命题④为等角定理.
故答案为：
①②③.
【点睛】
本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.
17．
（1）见解析；
（2）见解析
【分析】
（1）根据平面平面，可得平面，可得结果.
（2）取的中点，根据//，且，可得平行四边形是平行四边形，然后根据//，以及线面平行的判定定理，可得结果.
【详解】
（1）因为，平面平面，
平面平面，
平面，则平面．
又因为平面，
所以．
（2）取的中点，连接，．
在中，因为，分别是，的中点，
所以//，且．
在平行四边形中，因为是的中点，
所以//，且，
所以//，且
在平行四边形是平行四边形，
所以//．
又因为平面，平面，
所以//平面．
【点睛】
本题考查面面垂直的性质定理，以及线面平行的判定，属基础题.
18．
（1）证明见解析；
（2）
【分析】
（1）由菱形的性质有，勾股定理知，结合面面垂直的推论可得，根据线面垂直的判定证垂直即可；
（2）由面即可计算，结合已知条件可求三棱锥的体积；
【详解】
（1）由题意知：
底面ABCD是菱形，且
∴，又在△中，，即，
∴，又面PAB面，面PAB面，面PAB，
∴面，而面，有：
，，
∴平面；
（2）由
（1）知：
面，有，
而，且，
∴
【点睛】
本题考查了应用几何图形的性质，及线面垂直的判定证明垂直，根据已知体积关系结合三棱锥的体积公式求三棱锥的体积.
19．
（1）见证明；
（2）见证明
【分析】
（1）先证明，即证平面BMN⊥平面ACC1A1.
（2）取的中点，连接和，证明，再证明MN∥平面BCC1B1．
【详解】
（1）证明：
因为为棱的中点，且，
所以，
因为是直三棱柱，
所以，
因为，
所以，
又因为，且，
所以，
因为，
所以平面.
（2）取的中点，连接和，
因为为棱的中点，
所以，且，
因为是棱柱，
所以，
因为为棱的中点，
所以，且，
所以，且，
所以是平行四边形，
所以，
又因为，
所以.
【点睛】
本题主要考查空间几何元素的平行垂直关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.
20．
（1）12；
（2）.
【分析】
（1）直接利用锥的体积公式求四棱锥的体积.
（2）平移直线，找到异面直线与所成角，并计算角的大小.
【详解】
解：
（1）在中,,则，
则．
（2）由，所以即为异面直线与所成角（或其补角），
由，，且，得面，又面，
所以，在中，．
【点睛】
本题考查了棱锥的体积公式和异面直线所成的角,属于容易题.
21．
（1）证明见解析；
（2）．
【分析】
（1）证明，再根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）即为异面直线与所成的角，求出即可．
【详解】
（1）证：
在正方体中，
，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵平面，平面；
∴平面；
（2）解：
∵，
升级会员 