专题16直线与圆高考数学理试题分项版解析Word格式.docx
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2.点与直线、直线与直线的位置关系
分析解读 1.理解直线的倾斜角与斜率的关系,会求直线的倾斜角与斜率.2.掌握求直线方程的三种方法:
直接法、待定系数法、轨迹法.3.能根据两条直线平行、垂直的条件判定两直线是否平行或垂直.4.熟记两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式,根据相关条件,会求三种距离.5.理解方程和函数的思想方法.6.高考中常结合直线的斜率与方程,考查与其他曲线的综合应用,分值约为5分,属中档题.
圆的方程
①掌握确定圆的几何要素;
②掌握圆的标准方程与一般方程
解答题
★☆☆
分析解读 1.了解参数方程的概念,理解圆的参数方程.2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,结合圆的几何性质解决与圆有关的问题.3.高考对本节内容的考查以圆的方程为主,分值约为5分,中等难度,备考时应掌握“几何法”和“代数法”,求圆的方程的方法及与圆有关的最值问题.
1.直线与圆的位置关系
①能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;
能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;
②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;
③初步了解用代数方法处理几何问题的思想
2.圆与圆的位置关系
分析解读 1.能够根据给定直线和圆的方程,选用代数或几何方法,判断直线和圆、圆与圆的位置关系.2.会根据圆的切线方程、公共弦方程及弦长等有关知识解决有关直线与圆的问题.3.灵活运用数形结合的方法.4.本节在高考中以位置关系、弦长问题为主,分值约为5分,属中档题.
2018年高考全景展示
1．【2018年理北京卷】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
点睛：
与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
2．【2018年全国卷Ⅲ理】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】分析：
先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：
直线分别与轴，轴交于，两点，,则，点P在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线距离，故点P到直线的距离的范围为，则，故答案选A.
本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。
3．【2018年理数天津卷】已知圆的圆心为C，直线（为参数）与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.
【答案】
由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.
由题意可得圆的标准方程为：
，直线的直角坐标方程为：
，即，则圆心到直线的距离：
，由弦长公式可得：
，
则.
处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；
若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
4．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．
【答案】3
以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
5．【2018年理数全国卷II】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
（1）y=x–1,
（2）或．
（1）根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程；
（2）先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.
（2）由
（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或
因此所求圆的方程为或．
确定圆的方程方法
（1）直接法：
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
（2）待定系数法：
①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．
2017年高考全景展示
1.【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是
【答案】
【考点】直线与圆，线性规划
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
2.【2017课标3，理20】已知抛物线C：
y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：
坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
（1）证明略；
（2）直线的方程为，圆的方程为.
或直线的方程为，圆的方程为.
【解析】
试题分析：
（1）设出点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率之积为可得，即得结论；
（2）结合
（1）的结论求得实数的值，分类讨论即可求得直线的方程和圆的方程.
试题解析：
（1）设，.
由可得，则.
又，故.
因此的斜率与的斜率之积为，所以.
故坐标原点在圆上.
（2）由
（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故，
即.
由
（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
【考点】直线与抛物线的位置关系；
【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线内部.
3.【2017课标1，理20】已知椭圆C：
（a>
b>
0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：
l过定点.
（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；
（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，在设直线l的方程，当l与x轴垂直，通过计算，不满足题意，再设设l：
（），将代入，写出判别式，韦达定理，表示出，根据列出等式表示出和的关系，判断出直线恒过定点.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：
x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.
则，得，不符合题设.
从而可设l：
（）.将代入得
由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而
.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，欲使l：
，即，
所以l过定点（2，）
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.
【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；
证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（）
（A）（B）（C）（D）2
圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：
，解得，故选A．
考点：
圆的方程、点到直线的距离公式.
【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法
（1）几何法：
由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．
若d>
r，则直线与圆相离；
若d＝r，则直线与圆相切；
若d<
r，则直线与圆相交．
（2）代数法：
联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数（也就是方程组解的个数）来判断．
如果Δ<
0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；
如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；
如果Δ>
0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．
提醒：
直线与圆的位置关系的判断多用几何法．
2.【2016高考新课标3理数】已知直线：
与圆交于两点，过
分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.
【答案】4
直线与圆的位置关系．
3.【2016高考上海理数】已知平行直线，则的距离___________.
【解析】试题分析：
利用两平行线间距离公式得.
两平行线间距离公式.
【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.
4.【2016高考江苏卷】
（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；
（3）设点满足：
存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。
（1）
（2）（3）
（1）求圆的标准方程，关键是确定圆心与半径：
根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径
（2）本题实质已知弦长求直线方程，因此应根据垂径定理确定等量关系，求直线方程（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等
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