最新高三教案高考第一轮复习86圆锥曲线的应用 精品Word下载.docx
《最新高三教案高考第一轮复习86圆锥曲线的应用 精品Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最新高三教案高考第一轮复习86圆锥曲线的应用 精品Word下载.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
A.4mB.3.84mC.1.48mD.2.92m
建立适当坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>
0),由题意知其过定点(10,-4),代入x2=-2py,得p=.
∴x2=-25y.当x0=2时,y0=,∴最长支柱长为4-|y0|=4-=3.84(m).
3.天安门广场,旗杆比华表高,在地面上,观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是
A.椭圆B.圆
C.双曲线的一支D.抛物线
设旗杆高为m,华表高为n,m>n.旗杆与华表的距离为2a,以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为x轴、垂直平分线为y轴建立直角坐标系.设曲线上任一点M(x,y),由题意=,即(m2-n2)x2+(m2-n2)y2-2a(m2-n2)x+(m2-n2)a2=0.
4.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点,已知灯口直径是60cm,灯深40cm,则光源到反射镜顶点的距离是____________cm.
设抛物线方程为y2=2px(p>
0),点(40,30)在抛物线y2=2px上,
∴900=2p×
40.∴p=.∴=.因此,光源到反射镜顶点的距离为cm.
5.在相距1400m的A、B两哨所,听到炮弹爆炸声音的时间相差3s,已知声速340m/s.炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________.
设M(x,y)为曲线上任一点,
则|MA|-|MB|=340×
3=1180<
1400.
∴M点轨迹为双曲线,且a==510,
c==700.
∴b2=c2-a2=(c+a)(c-a)=1210×
190.
∴M点轨迹方程为-=1.
-=1
●典例剖析
【例1】设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道的焦点处,当此彗星离地球相距m万千米和m万千米时,经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为和,求该彗星与地球的最近距离.
剖析:
本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离,一般的思路:
由直线与椭圆的关系,列方程组解之;
或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解.同时,还要注意结合椭圆的几何意义进行思考.仔细分析题意,由椭圆的几何意义可知:
只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时,彗星与地球的距离才达到最小值即为a-c,这样把问题就转化为求a,c或a-c.
解:
建立如下图所示直角坐标系,设地球位于焦点F(-c,0)处,椭圆的方程为+=1,
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时,由椭圆的几何意义可知,彗星A只能满足∠xFA=(或∠xFA′=).
作AB⊥Ox于B,则|FB|=|FA|=m,
故由椭圆的第二定义可得
m=(-c),①
m=(-c+m).②
两式相减得m=·
m,∴a=2c.
代入①,得m=(4c-c)=c,
∴c=m.∴a-c=c=m.
答:
彗星与地球的最近距离为m万千米.
评述:
(1)在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点,该椭圆的两个端点,一个是近地点,另一个则是远地点,这两点到恒星的距离一个是a-c,另一个是a+c.
(2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的,以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想.另外,数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题,善于挖掘隐含条件,有意识地训练数学思维的品质.
思考讨论
椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少?
怎样证明?
提示:
利用焦半径易求得最大值为a+c,最小值为a-c.
【例2】某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑,挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如下图所示).已知PA=100m,PB=150m,∠APB=60°
,试说明怎样运土最省工.
首先抽象为数学问题,半圆中的点可分为三类:
(1)沿AP到P较近;
(2)沿BP到P较近;
(3)沿AP、BP到P同样远.
显然,第三类点是第一、二类的分界点,设M是分界线上的任意一点.则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|.
于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.
从而发现第三类点M满足性质:
点M到点A与点B的距离之差等于常数50,由双曲线定义知,点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上,故问题转化为求此双曲线的方程.
以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy,设M(x,y)是沿AP、BP运土同样远的点,则
|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,
∴|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.
在△PAB中,由余弦定理得
|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|cos60°
=17500,且50<|AB|.由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上,设此双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
∵
2a=50,
4c2=17500,
c2=a2+b2,
解之得
a2=625,
b2=3750.
∴M点轨迹是-=1(x≥25)在半圆内的一段双曲线弧.于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工.
(1)本题是不等量与等量关系问题,涉及到分类思想,通过建立直角坐标系,利用点的集合性质,构造圆锥曲线模型(即分界线)从而确定出最优化区域.
(2)应用分类思想解题的一般步骤:
①确定分类的对象;
②进行合理的分类;
③逐类逐级讨论;
④归纳各类结果.
【例3】根据我国汽车制造的现实情况,一般卡车高3m,宽1.6m.现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道,为保障双向行驶安全,交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4m的距离行驶.已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍,若拱宽为am,求能使卡车安全通过的a的最小整数值.
根据问题的实际意义,卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4m到2m间的道路行驶为最佳路线,因此,卡车能否安全通过,取决于距隧道中线2m(即在横断面上距拱口中点2m)处隧道的高度是否够3m,据此可通过建立坐标系,确定出抛物线的方程后求得.
如下图,以拱口AB所在直线为x轴,以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系,由题意可得抛物线的方程为x2=-2p(y-),
∵点A(-,0)在抛物线上,
∴(-)2=-2p(0-),得p=.
∴抛物线方程为x2=-a(y-).
取x=1.6+0.4=2,代入抛物线方程,得
22=-a(y-),y=.
由题意,令y>3,得>3,
∵a>0,∴a2-12a-16>0.
∴a>6+2.
又∵a∈Z,∴a应取14,15,16,….
满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14m.
本题的解题过程可归纳为两步:
一是根据实际问题的意义,确定解题途径,得到距拱口中点2m处y的值;
二是由y>3通过解不等式,结合问题的实际意义和要求得到a的值,值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的.
●闯关训练
夯实基础
1.1998年12月19日,太原卫星发射中心为摩托罗拉公司(美国)发射了两颗“铱星”系统通信卫星.卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点为mkm,远地点为nkm,地球的半径为Rkm,则通信卫星运行轨道的短轴长等于
A.2
B.
C.2mn
D.mn
由题意
-c=m+R,①
+c=n+R,②
∴c=,
2b=2
=2.
A
2.如下图,花坛水池中央有一喷泉,水管OP=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线对称轴1m,则在水池直径的下列可选值中,最合算的是
A.2.5mB.4m
C.5mD.6m
以O为原点,OP所在直线为y轴建立直角坐标系(如下图),则抛物线方程可设为
y=a(x-1)2+2,P点坐标为(0,1),
∴1=a+2.∴a=-1.
∴y=-(x-1)2+2.
令y=0,得(x-1)2=2,∴x=1±
.
∴水池半径OM=+1≈2.414(m).
因此水池直径约为2×
|OM|=4.828(m).
C
3.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是x2=2y(0≤y≤20).在杯内放入一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径r的范围为____________.
玻璃球的轴截面的方程为
x2+(y-r)2=r2,由
得y2+2(1-r)y=0,由Δ=4(1-r)2=0,得r=1.
x2=2y,
x2+(y-r)2=r2,
0<r≤1
4.河上有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶5m时,水面宽为8m,一小船宽4m,高2m,载货后船露出水面上的部分高m,问水面上涨到与抛物线拱顶相距____________m时,小船不能通航.
建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>
0).
将点(4,-5)代入求得p=.
∴x2=-y.
将点(2,y1)代入方程求得y1=-.
∴+|y1|=+=2(m).
2
5.下图是一种加热水和食物的太阳灶,上面装有可旋转的抛物面形的反光镜,镜的轴截面是抛物线的一部分,盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处,容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12m,镜深2m,
(1)建立适当的坐标系,求抛物线的方程和焦点的位置;
(2)若把盛水和食物的容器近似地看作点,试求每根铁筋的长度.
(1)如下图,在反光镜的轴截面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x轴垂直于镜口直径.
由已知,得A点坐标是(2,6),
设抛物线方程为y2=2px(p>0),
则36=2p×
2,p=9.
所以所求抛物线的标准方程是y2=18x,
焦点坐标是F(,0).
(2)∵盛水的容器在焦点处,∴A、F两点间的距离即为每根铁筋长.
|AF|==(或|AF|=+2=).
故每根铁筋的长度是6.5m.
6.有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝,只留有一个透明窗用作通光孔,它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分,灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上,并且这两物体间距离为4.5cm,灯丝距顶面距离为2.8cm,为使卡门处获得最强烈的光线,在加工这种灯泡时,应使用何种曲线可使效果最佳?
试求这个曲线方程.
分析:
由于光线从灯丝发出,反射到卡门上光线应交于一点,这就是光线聚焦,只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上,反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处,因而可获得强光.
采用椭圆旋转而成的曲面,如下图建立直角坐标系,中心截口BAC是