二重积分的反常积分.docx

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二重积分的反常积分

1弓I言1

2无界区域上的二重积分1

2.1定义1

2.211f（x,y）d二收敛的判定2

D

2.3b函数与】函数的联系4

3无界函数的二重积分9

3.1定义9

3.2判定定理9

3.3无界函数计算10

参考文献11

致谢12

二重积分的反常积分数学系本0601班魏慧指导教师：

梁素萍

摘要：

本文探究了二重积分中的两种反常积分，即无界区域上的二重积分和无界函数的二重积分，分别从定义及其判别法两个方面研究了关于二重反常积分的敛散性，同时还计算了泊松（Poisson）积分，并用其证明了B函数与r函数的关系式，鲜明地反映反常二重积分在证明某些题目时的优越性。

关键词：

二重积分，反常，广义。

Doubleintegraloftheimproperintegral

Name:

WeiHui

Class0601,MathematicsDepartment

Tutor:

LiangSuping

Abstract：

Thispaperdiscussesthedoubleintegralofthetwokindsofabnormalpoints,namelytheunboundedregionaldoubleandunboundedfunction,thedoubleintegralrespectivelyfromtwoaspectsofdefinitionandresearchmethodaboutdoubleabnormal

integralconvergenee,alsocalculate,pine（Poissontabor,anditsproof）rfunctionwiththeB

functionequation,vividlyreflectedabnormaldoubletoprovesomequestionsinthesuperiority.

Keywords:

Doubleintegral,Abnormal,Generalized.

1引言

与定积分相同，我们也可以把二重积分推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形，统称为反常二重积分。

2无界区域上的二重积分

2.1定义

反常二重积分是数学分析中的一个重要内容，用它来计算泊松（Poissor）积

分，或是用它来证明B函数与r函数的关系式，都是十分简捷的。

在概率、统计、数理方程等学科中，反常二重积分也被广泛的引用。

所以，对反常二重积分给出一个严格、明确而又易于运用的定义，是十分有益的。

定义1f（x,y）为定义在无界区域D上的二元函数，若对于平面上

任一包围原点的光滑封闭曲线，f（x,y）在曲线所围的有界区域E

与D的交集ED=D上二重可积。

令d=min{•,x2•y2|（x,y）•}，若存

在有限极限：

且与的取法无关，则称f（x,y）在D上的反常二重积分收敛，并记

：

Ilf（x,yd；：

；二

D

dlJ:

mf

*dy

（1）

否则称f（x,y）在D上的反常二重积分发散，或简称||f（x,y）d；「发散

D

2.2!

!

f（x,y）d收敛的判定

D

定理1设在无界区域D上f（X,y）_0,-2,…，n，…为一列包围原点的

光滑封闭曲线序列，满足

（i）dn=inf{X2-y2|（x,y^.}—•''（n—「'）；

（ii）I二sup||f（x,y）d；「：

:

：

：

：

，nD；

其中Dn=EnD，En为n所围的有界区域，这时反常二重积分

（1）必定收

敛，并且IIf（x,y）d二I

D

证设’为任何包围原点的光滑封闭曲线，它所围成的区域记为

e'，并记

d'=e'D。

因为limdn-•:

:

，因此存在n，使得D'Dx—JDC

D。

由于

f（x,y）_0，所以有

f（x,y）d；「乞f（x,y）d二

d'Dn

另一方面，因为

I二sup11f（x,y）d二，nDn

故对任给的；•0，总有n。

，使得f（x,y）d二•I-；Dn。

因而对于充分大的D‘-：

Dn°，有..f（x,y）d二-I

D

再由

I—gCJJf（xy）od兰I

D

可知反常二重积分IIf（x,y）；d存在，且等于I。

D

由定理1的证明容易看到有以下定理:

定理2若在无界区域D上f（x,y）_0，则反常二重积分

（1）收敛的充要条

件是：

在D的任何有界子区域上f（x,y）可积，且积分值有上界。

（2i2）

lie"y>d；「=Iim11e

2aj…

R2Da

R

22

11eJxy）d；「--：

（1_e

Da

显然a_.时Da>R2，因此有

222

丄%y〉d；「-Iim一恵（1-e』）=二

2

-_i

eJdx

显然当丨一;

:

:

时有Dl-R2，因此有

I

-xe

82

dx]2".二e*dx]2

由此得到'e"dx.:

氟

"a

注：

事实上概率论中很重要的泊松积分

-■.2

"e^dx的计算有更为简便的算法,

J-Q0

2

因的原函数不能用初等函数表示，故用一元广义积分的方法不能求出

该积分的值。

:

:

」2

e_

函数。

小结：

在计算反常二重积分时，一般选择有利于计算的特殊区域（如圆、形等）扩展方式，讨论相应极限的存在性。

2.3B函数与:

函数的联系

证明：

若p0,q-0,则

B（p,q尸

证对于-函数，令x=u2则dx=2udu，

:

:

:

:

2

于是-（p）^dx=2qdu

从而

:

:

2：

：

2

】（P）】（q）=4x?

p』e亠dxy2q%_ydy

0-0

令Dr=[0,R][0,R]，由二重积分化为累次积分的计算公式，有

x.0,y0}.

Dr^{（x,y）|x2y<2r,

于是有

】（p）】（q）=4x2p」y2q」e”x

D

2.2

2p-12q_1_（x-y）

=lim4xyedc

r-j：

:

■

Dr

对上式积分应用极坐标变换，则得

r2

]（P）]（q）iim42d，「2（pq）/cos2pA■'sin2qe」rdr

r2

=lim22cos2p」dsinq^_4^2rp2q^_eU2rdr

r斗：

•0-0

3T

=2。

彳。

0您~二sPn^dv.p（q）

又B（p,q）=2°2sin2q」「cos2p_d「

•••-（ph（q）二B（p,q）】（p-q）.

定理3（比较判别法）设D是平面R2中无界区域，f（x,y）,g（x,y）

是D上的函数，在D的任何有界可求面积的子区域上可积，并且

0_f（x,y）_g（x,y0）那么

（1）

iif（x,y）dxdy收敛时；

D

iig（x,y）dxdy发散时。

D

当iig（x,y）dxdy收敛时，

D

（2）当11f（x,y）dxdy发散时，

D

例3设0：

：

：

m_（x,y）_M，讨论

（:

『Ipdxdy的敛散性。

o沁（1xy）

解：

0乞y叮为无限带状区域,

m”W（x,y）|”M

22p兰22p兰22p

（1■x■y）（1■x■y）（1■x■y）

1

所以原积分与积分22pdxdy同时敛散

0&（1+x+y）

而后者当P岂0时明显发散，下面只需讨论p0的情况

〜1”1”1

02p22p2p

（2■x）（1-x-y）（1■x）

在[-A,A][0,1上取积分，并令A，:

:

可知:

址dxdxdy址dx

f

2\P..2?

p,A\巾

■■-（2■x）°岂丄（1•xy）■■■（1x）

1此式对于极限为有限数或正无穷都是对的，由此可知，p时积分收敛。

2

11

从左边看，知P"时积分发散。

总之，原积分当且仅当p时收敛。

22

定理4设D是平面R2中无界区域，fx,y在D上的可积函数的充分必要

条件是Ifx,y|在D上的可积

证明充分性设If（x,y）|在D上的可积，令

+f（x,y）,f（x,y）兰0,

f（x,y）=*

、0,f（x,y）v0；

_f（x,y）,f（x,y）兰0,

f（x,y）=J

k0,f（x,yp>0;

显然,，0空f-x,y勻fx,yI，所以f-X,y在D上的可积。

故

fx,y=fx,y-f_x,y也在D上的可积

必要性用反证法.设f（x,y）在D上的可积，但|f（x,y）|

=fx,y+f-x,y在D上的不可积，即f'x,y和f-x,y至少有一个不可积。

不妨设f*x,y不可积，那么对任意正数K,存在一条曲线『，它从D割出有界的D（r）满足：

f（x,y）dxdy亠K.一般地,由归纳可得，存在一族分段光滑

D（[）

曲线J），它们将D分割出有界子区域Dk二DCQ,（k=12…）满足

D!

二D2二•二Dn二•，及limdCn）

n—

并且Uf^x,y）dxdya2f（x,y）|dxdy+n（n=1,2,）

n（n=1,2,……）

Dn1.Dn

JJf*x,y）dxdy>|j|f（x,y）dxdy

Dn

Dn14

容易得fx,y在Dn1-Dn

所以，当把-Dn充分细

因fx,y在D上可积，f（x,y）在Dn.-Dn上可积,

上可积。

其Darboux小和收敛于IIf（x,y）dxdy，

Dn1"n

的分划P：

._

（1）._

（2）._（Sn）

n，"-'n,■■■,"-'n

记Pn为⑴AO的小区域的并，那么

令En为Dn和Pn的并,

:

:

:

-iif（x,y）dxdy亠hf（x,y）dxdy.n-1（n=1,2,）.

DnPn

如果En不是一个连通区域，我们可以作几个长条矩形连接各个不相交的区域，使得这些长条矩形和原有的所有区域形成连通的区域记为工n,这些长条矩形的取法，使得

f（x,y）dxdy_n—2（n=1,2,）

S

显然，n可以充分大，与f（x,y）在D上的可积矛盾。

注对于反常定积分，绝对收敛的反常积分一定收敛，反之不然。

而在反常二重积分中，绝对收敛的反常积分一定收敛，反之亦然。

出现这种区别的原因，是因为直线上的点是有序的，而在平面上的点是无序的。

定理5（柯西判别法）设f（x,y）在无界区