届高三文科数学一轮复习学案 高考专题突破3高考中的数列问题Word下载.docx

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－2，a，b；

－2，b，a；

成等比数列的情况有：

a，－2，b；

b，－2，a.

∴或解得或

∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.

4．（2017·

江西高安中学等九校联考）已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·

a6·

a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan的值是（　　）

A．1B.

C．－D．－

解析　{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1·

a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，

∴a＝（）3,3b6＝7π，

∴a6＝，b6＝，

∴tan＝tan＝tan

＝tan＝tan＝－tan＝－.

5．（2018·

保定模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝an－，若1<

Sk<

9（k∈N*），则k的值为________．

答案　4

解析　由题意，Sn＝an－，

当n≥2时，Sn－1＝an－1－，

两式相减，得an＝an－an－1，

∴an＝－2an－1，

又a1＝－1，

∴{an}是以－1为首项，以－2为公比的等比数列，

∴an＝－（－2）n－1，∴Sk＝，

由1<

9，得4<

（－2）k<

28，

又k∈N*，∴k＝4.

题型一　等差数列、等比数列的综合问题

例1（2016·

四川）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>

0，n∈N*.

（1）若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；

（2）设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.

解　

（1）由已知，Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1.

又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1，

故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．

所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，

从而an＝qn－1.

由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，

所以a3＝2a2，故q＝2.

所以an＝2n－1（n∈N*）．

（2）由

（1）可知，an＝qn－1，

所以双曲线x2－＝1的离心率

en＝＝.

由e2＝＝2，解得q＝，

所以e＋e＋…＋e

＝（1＋1）＋（1＋q2）＋…＋[1＋q2（n－1）]

＝n＋[1＋q2＋…＋q2（n－1）]

＝n＋＝n＋（3n－1）．

思维升华等差数列、等比数列综合问题的解题策略

（1）分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差（公比）等，确定解题的顺序．

（2）注意细节：

在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．

跟踪训练1（2018·

沧州模拟）已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Tn＝Sn－（n∈N*），求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．

解　

（1）设等比数列{an}的公比为q，

因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，

所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，

于是q2＝＝.

又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.

故等比数列{an}的通项公式为an＝×

n－1＝（－1）n－1·

.

（2）由

（1）得Sn＝1－n＝

当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，

所以1<

Sn≤S1＝，

故0<

Sn－≤S1－＝－＝.

当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，

所以＝S2≤Sn<

1，

故0>

Sn－≥S2－＝－＝－.

综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.

所以数列{Tn}的最大项的值为，最小项的值为－.

题型二　数列的通项与求和

例2（2018·

邢台模拟）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．

（2）令bn＝（－1）n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.

解　

（1）因为S1＝a1，S2＝2a1＋×

2＝2a1＋2，

S4＝4a1＋×

2＝4a1＋12，

由题意得（2a1＋2）2＝a1（4a1＋12），

解得a1＝1，所以an＝2n－1.

（2）bn＝（－1）n－1

＝（－1）n－1

＝（－1）n－1.

当n为偶数时，

Tn＝－＋…＋－

＝1－＝.

当n为奇数时，Tn＝－＋…－＋

＝1＋＝.

所以Tn＝（或Tn＝）

思维升华

（1）一般求数列的通项往往要构造数列，此时从要证的结论出发，这是很重要的解题信息．

（2）根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等．

跟踪训练2（2018·

大连模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an（n∈N*）．

（1）证明：

数列是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.

（1）证明　∵a1＝，an＋1＝an，

当n∈N*时，≠0，

又＝，∶＝（n∈N*）为常数，

∴是以为首项，为公比的等比数列．

（2）解　由是以为首项，为公比的等比数列，

得＝·

n－1，∴an＝n·

n.

∴Sn＝1·

＋2·

2＋3·

3＋…＋n·

n，

Sn＝1·

2＋2·

3＋…＋（n－1）n＋n·

n＋1，

∴两式相减得Sn＝＋2＋3＋…＋n－n·

n＋1＝－n·

∴Sn＝2－n－1－n·

n

＝2－（n＋2）·

综上，an＝n·

n，Sn＝2－（n＋2）·

题型三　数列与其他知识的交汇

命题点1　数列与函数的交汇

例3（2018·

长春模拟）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）＝2x的图象上（n∈N*）．

（1）若a1＝－2，点（a8,4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；

（2）若a1＝1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.

解　

（1）由已知，得b7＝，b8＝＝4b7，

有＝4×

＝，

解得d＝a8－a7＝2，

所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n（n－1）＝n2－3n.

（2）f′（x）＝2xln2，f′（a2）＝ln2，

故函数f（x）＝2x在（a2，b2）处的切线方程为y－＝ln2（x－a2），

它在x轴上的截距为a2－.

由题意，得a2－＝2－，

解得a2＝2，

所以d＝a2－a1＝1.

从而an＝n，bn＝2n，＝.

所以Tn＝＋＋＋…＋＋，

2Tn＝＋＋＋…＋.

两式相减，得

2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－

＝2－－

＝.

所以Tn＝.

命题点2　数列与不等式的交汇

例4（2016·

天津）已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项．

（1）设cn＝b－b，n∈N*，求证：

数列{cn}是等差数列；

（2）设a1＝d，Tn＝（－1）kb，n∈N*，求证：

<

证明　

（1）由题意得b＝anan＋1，

cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1.

因此cn＋1－cn＝2d（an＋2－an＋1）＝2d2，

所以{cn}是等差数列．

（2）Tn＝（－b＋b）＋（－b＋b）＋…＋（－b＋b）

＝2d（a2＋a4＋…＋a2n）

＝2d·

＝2d2n（n＋1）．

所以＝＝

＝·

<

命题点3　数列应用题

例5某企业为了进行技术改造，设计了两种方案，甲方案：

一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；

乙方案：

每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元．两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中哪种获利更多？

（参考数据：

取1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665）

解　甲方案中，每年所获利润组成等比数列，首项为1，公比为（1＋30%），所以10年所获得的总利润为

S10＝1＋（1＋30%）＋（1＋30%）2＋…＋（1＋30%）9

＝≈42.62（万元），

贷款到期时，需要偿还银行的本息是

10（1＋5%）10≈16.29（万元），

故使用甲方案所获纯利润为

42.62－16.29＝26.33（万元）．

乙方案中，每年的利润组成等差数列，首项为1，公差为0.5，

所以10年所获得的总利润为

T10＝1＋（1＋0.5）＋（1＋2×

0.5）＋…＋（1＋9×

0.5）

＝10×

1＋×

0.5＝32.5（万元），

从第一年起，每年的贷款在到期时所产生的本息组成等比数列，首项为1×

（1＋5%）10万元，公比为，

故贷款到期时，需要偿还银行的本息是

1×

[（1＋5%）10＋（1＋5%）9＋…＋（1＋5%）]

＝1.05×

≈13.21（万元），

故使用乙方案所获纯利润为

32．5－13.21＝19.29（万元）．

综上可知，甲方案获利更多．

思维升华数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略

（1）数列与函数的交汇问题

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；

②已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法．

（2）数列与不等式的交汇问题

①函数方法：

即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；

②放缩方法：

数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；

③比较方法：

作差或者作商比较．

（3）数列应用题

①根据题意，确定数列模型；

②准确求解模型；

③问题作答，不要忽视问题的实际意义．

跟踪训练3（2018·

烟台模拟）已知二次函数f（x）＝ax2＋bx的图象过点（－4n，0），且f′（0）＝2n，n∈N*，数列{an}满足＝f′，且a1＝4.

（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

解　

（1）f′（x）＝2ax＋b，由题意知b＝2n，

16n2a－4nb＝0，

∴a＝，

则f（x）＝x2＋2