新人教A版数学必修4导学案解析版第三章三角恒等变换312两角和与差的正弦余弦正切公式一导学案Word下载.docx
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sin（α－β）＝
sinαcosβ－cosαsinβ
记忆口诀：
“正余余正，符号相同”.
类型一 给角求值
例1
（1）化简求值：
sin（x＋27°
）cos（18°
－x）－sin（63°
－x）·
sin（x－18°
）.
解
（1）原式＝sin（x＋27°
－x）－cos（x＋27°
）·
）
＝sin（x＋27°
－x）＋cos（x＋27°
）sin（18°
－x）
＝sin[（x＋27°
）＋（18°
－x）]＝sin45°
＝.
（2）＝.
答案
解析 原式＝
＝
＝＝sin30°
反思与感悟
（1）解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.
（2）解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解.
跟踪训练1 计算：
（1）sin14°
cos16°
＋sin76°
cos74°
；
（2）sin（54°
－x）cos（36°
＋x）＋cos（54°
－x）sin（36°
＋x）.
解
（1）原式＝sin14°
＋sin（90°
－14°
）cos（90°
－16°
＝sin14°
＋cos14°
sin16°
＝sin（14°
＋16°
）＝sin30°
（2）原式＝sin[（54°
－x）＋（36°
＋x）]＝sin90°
＝1.
类型二 给值求值
例2 已知sin＝，cos＝，且0<
α<
<
β<
，求cos（α＋β）.
解 ∵0<
，
∴<
＋α<
π，－<
－β<
0.
又∵sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴cos（α＋β）＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝×
－×
＝－.
反思与感悟
（1）给值（式）求值的策略
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
（2）给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解.
跟踪训练2 已知<
，cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，求cos2α与cos2β的值.
解 ∵<
∴0<
α－β<
，π<
α＋β<
.
∴sin（α－β）＝
＝＝，
cos（α＋β）＝－
＝－＝－.
∴cos2α＝cos[（α－β）＋（α＋β）]
＝cos（α＋β）cos（α－β）－sin（α＋β）sin（α－β）
＝－×
＝－，
cos2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]
＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）
＋×
类型三 辅助角公式
命题角度1 用辅助角公式化简
例3 将下列各式写成Asin（ωx＋φ）的形式：
（1）sinx－cosx；
（2）sin（－x）＋cos（－x）.
解
（1）sinx－cosx＝2（sinx－cosx）
＝2（cossinx－sincosx）
＝2sin（x－）.
（2）原式＝[sin（－x）＋cos（－x）]
＝[sinsin（－x）＋coscos（－x）]
＝cos（－x－）＝cos（－x）＝sin（x＋）.
反思与感悟 一般地对于asinα＋bcosα形式的代数式，可以提取，化为Asin（ωx＋φ）的形式，公式asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）（或asinα＋bcosα＝cos（α－φ））称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.
跟踪训练3 sin－cos＝.
答案 －
解析 原式＝2.
方法一 原式＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝－.
方法二 原式＝2
＝－2
＝－2cos＝－2cos＝－.
命题角度2 求函数值域最值
例4 已知函数f（x）＝2sin－2cosx，x∈，求函数f（x）的值域.
解 f（x）＝2sin－2cosx＝sinx－cosx
＝2sin，因为≤x≤π，所以≤x－≤.
所以≤sin≤1.
所以函数f（x）的值域为[1，2].
反思与感悟
（1）用辅助角公式化成一角一函数，
即asinx＋bcosx＝sin（x±
φ）的形式.
（2）根据三角函数的单调性求其值域.
跟踪训练4
（1）当函数y＝sinx－cosx（0≤x≤2π）取得最大值时，x＝；
（2）函数f（x）＝sinx－cos的值域为.
答案
（1）
（2）[－，]
解析
（1）y＝2sin（x－），
∵0≤x≤2π，∴－≤x－≤，
∴当x－＝，即x＝时，ymax＝2.
（2）f（x）＝sinx－cosx＋sinx
＝sinx－cosx＝sin（x－），
∴f（x）∈[－，].
1.计算cos＋sin的值是（ ）
A.B.2C.2D.
答案 B
解析 cos＋sin＝2（cos＋sin）
＝2sin＝2sin＝2.
2.在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，则cosC等于（ ）
A.－B.
C.－或D.或
解析 ∵cosA＝<
＝cos60°
，∴60°
A<
90°
∵sinB＝<
＝sin60°
，∴若B为钝角，
则B>
120°
，A＋B>
180°
，矛盾，
∴B为锐角，且A为锐角，sinA＝，cosB＝.
∵cosC＝cos[π－（A＋B）]＝－cos（A＋B），
∴cosC＝－cos（A＋B）＝－（cosAcosB－sinAsinB）
＝－＝.
3.sin20°
cos10°
－cos160°
sin10°
等于（ ）
A.－B.C.－D.
答案 D
解析 sin20°
＝sin20°
＋cos20°
＝sin30°
4.已知锐角α、β满足sinα＝，cosβ＝，则α＋β＝.
解析 ∵α，β为锐角，sinα＝，cosβ＝，
∴cosα＝，sinβ＝.
∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
又∵0<
π，∴α＋β＝.
5.化简：
sincos－cos·
sin.
解 原式＝sincos－sin·
cos＝sin
＝sin＝sincos－cossin
1.公式的推导和记忆
（1）理顺公式间的逻辑关系
C（α－β）C（α＋β）S（α＋β）S（α－β）.
（2）注意公式的结构特征和符号规律
对于公式C（α－β），C（α＋β）可记为“同名相乘，符号反”；
对于公式S（α－β），S（α＋β）可记为“异名相乘，符号同”.
（3）符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C（α－β），C（α＋β），S（α－β），且公式sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ，角α，β的“地位”不同也要特别注意.
2.应用公式需注意的三点
（1）要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.
（2）注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.
（3）注意常值代换：
用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin90°
，＝cos60°
，＝sin60°
等，再如：
0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.
课时作业
一、选择题
1.已知α∈，sin＝，则sinα等于（ ）
A.B.
C.－或D.－
解析 由α∈，得<
α＋<
所以cos＝－
所以sinα＝sin
＝sincos－cossin
＝，故选B.
2.sin10°
cos20°
＋sin80°
sin20°
A.－B.－
C.D.
答案 C
解析 sin10°
＝sin10°
＋cos10°
＝sin（10°
＋20°
＝，故选C.
3.在△ABC中，A＝，cosB＝，则sinC等于（ ）
A.B.－
C.D.－
答案 A
解析 sinC＝sin[π－（A＋B）]＝sin（A＋B）
＝sinAcosB＋cosAsinB＝（cosB＋）
4.已知0<
π，又sinα＝，cos（α＋β）＝－，则sinβ等于（ ）
A.0B.0或
C.D.0或－
解析 ∵0<
π，sinα＝，cos（α＋β）＝－，∴cosα＝，sin（α＋β）＝或－.
∴sinβ＝sin[（α＋β）－α]
＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα＝或0.
∵<
π，∴sinβ＝.
5.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
解析 ∵A＝180°
－（B＋C），
∴sinA＝sin（B＋C）＝2sinBcosC.
又∵sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC，
∴sinBcosC－cosBsinC＝sin（B－C）＝0，
则B＝C，故△ABC为等腰三角形.
6.已知cos＋sinα＝，则sin的值为（ ）
C.－D.
解析 ∵cos＋sinα＝，
∴cosαcos＋sinαsin＋sinα＝，
∴cosα＋sinα＝，即cosα＋sinα＝，
∴sin＝.
∴sin＝－sin＝－.
二、填空题
7.sin15°
＋sin75°
的值是.
解析 sin15°
＝sin（45°
－30°
）＋sin（45°
＋30°
＝2sin45°
cos30°
8.已知cos（α＋）＝sin（α－），则tanα＝.
答案 1
9.＝.
答案
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