浙江专用版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数53平面向量的数量积教师用书Word下载.docx

浙江专用版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数53平面向量的数量积教师用书Word下载.docx

《浙江专用版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数53平面向量的数量积教师用书Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专用版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数53平面向量的数量积教师用书Word下载.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

b|≤|a||b|.

4．平面向量数量积满足的运算律

（1）a·

b＝b·

a；

（2）（λa）·

b＝λ（a·

b）＝a·

（λb）（λ为实数）；

（3）（a＋b）·

c＝a·

c＋b·

c.

5．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·

b＝x1x2＋y1y2，由此得到

（1）若a＝（x，y），则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离AB＝||＝.

（3）设两个非零向量a，b，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

（4）若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cosθ＝＝.

【知识拓展】

1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·

b>

0且a，b不共线；

两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·

b<

0且a，b不共线．

2．平面向量数量积运算的常用公式

（1）（a＋b）·

（a－b）＝a2－b2.

（2）（a＋b）2＝a2＋2a·

b＋b2.

（3）（a－b）2＝a2－2a·

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．（　√　）

（2）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．（　√　）

（3）由a·

b＝0可得a＝0或b＝0.（　×

　）

（4）（a·

b）c＝a（b·

c）．（　×

（5）两个向量的夹角的范围是[0，]．（　×

1．（教材改编）已知向量a＝（2,1），b＝（－1，k），a·

（2a－b）＝0，则k等于（　　）

A．－12B．6

C．－6D．12

答案　D

解析　∵2a－b＝（4,2）－（－1，k）＝（5,2－k），

由a·

（2a－b）＝0，得（2,1）·

（5,2－k）＝0，

∴10＋2－k＝0，解得k＝12.

2．（2016·

临安质检）已知向量a与b的夹角为30°

，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|等于（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　由题意可得a·

b＝|b|cos30°

＝|b|,4a2－4a·

b＋b2＝1，即4－2|b|＋b2＝1，由此求得|b|＝，故选C.

3．（2016·

温州调研）若平面四边形ABCD满足＋＝0，（－）·

＝0，则该四边形一定是（　　）

A．直角梯形B．矩形

C．菱形D．正方形

解析　由＋＝0得平面四边形ABCD是平行四边形，

由（－）·

＝0得·

＝0，

故平行四边形的对角线垂直，

所以该四边形一定是菱形，故选C.

4．（2016·

北京）已知向量a＝（1，），b＝（，1），则a与b夹角的大小为________．

答案　

解析　设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝，

又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.

题型一　平面向量数量积的运算

例1　

（1）（2016·

天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·

的值为（　　）

A．－B.

C.D.

（2）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·

的值为________；

·

的最大值为________．

答案　

（1）B　

（2）1　1

解析　

（1）如图，由条件可知＝－，

＝＋＝＋

＝＋，

所以·

＝（－）·

（＋）

＝2－·

－2.

因为△ABC是边长为1的等边三角形，

所以||＝||＝1，∠BAC＝60°

，

＝－－＝.

（2）方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1,0），C（1,1），D（0,1），

设E（t,0），t∈[0,1]，则＝（t，－1），＝（0，－1），所以·

＝（t，－1）·

（0，－1）＝1.

因为＝（1,0），所以·

（1,0）＝t≤1，

故·

的最大值为1.

方法二　由图知，

无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·

＝||·

1＝1，

当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC＝1，

∴（·

）max＝||·

1＝1.

思维升华　平面向量数量积的三种运算方法

（1）当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·

b＝|a||b|cos〈a，b〉．

（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·

b＝x1x2＋y1y2.

（3）利用数量积的几何意义求解．

（1）（2016·

全国丙卷）已知向量＝，＝，则∠ABC等于（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

（2）（2015·

天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°

.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·

的值为________．

答案　

（1）A　

（2）

解析　

（1）∵||＝1，||＝1，

cos∠ABC＝＝，

又∵0°

≤∠ABC≤180°

，∴∠ABC＝30°

.

（2）在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，

∠ABC＝60°

，∴CD＝1，＝＋＝＋，

＝＋＝＋，

∴·

＝·

＋·

＝2×

1×

cos60°

＋2×

＋×

12×

×

cos120°

＝.

题型二　平面向量数量积的应用

命题点1　求向量的模

例2　

（1）（2016·

宁波模拟）已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.

（2）在平面直角坐标系中，O为原点，A（－1,0），B（0，），C（3,0），动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．

答案　

（1）2　

（2）＋1

解析　

（1）因为＝（＋）

＝（2a＋2b＋2a－6b）

＝2a－2b，

所以||2＝4（a－b）2＝4（a2－2b·

a＋b2）

＝4×

（3－2×

2×

cos＋4）＝4，

所以||＝2.

（2）设D（x，y），由＝（x－3，y）及||＝1，

知（x－3）2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．

又＋＋＝（－1,0）＋（0，）＋（x，y）

＝（x－1，y＋），

∴|＋＋|＝.

问题转化为圆（x－3）2＋y2＝1上的点与点P（1，－）间距离的最大值．

∵圆心C（3,0）与点P（1，－）之间的距离为＝，

故的最大值为＋1.

即|＋＋|的最大值是＋1.

命题点2　求向量的夹角

例3　

（1）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.

（2）若向量a＝（k,3），b＝（1,4），c＝（2,1），已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________________．

答案　

（1）　

（2）∪

解析　

（1）因为a2＝（3e1－2e2）2

＝9－2×

3×

cosα＋4＝9，

所以|a|＝3，

因为b2＝（3e1－e2）2＝9－2×

cosα＋1＝8，

所以|b|＝2，

又a·

b＝（3e1－2e2）·

（3e1－e2）

＝9e－9e1·

e2＋2e＝9－9×

＋2＝8，

所以cosβ＝＝＝.

（2）∵2a－3b与c的夹角为钝角，

∴（2a－3b）·

c＜0，

即（2k－3，－6）·

（2,1）＜0，

∴4k－6－6＜0，

∴k＜3.

又若（2a－3b）∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.

当k＝－时，2a－3b＝（－12，－6）＝－6c，

即2a－3b与c反向．

综上，k的取值范围为∪.

思维升华　平面向量数量积求解问题的策略

（1）求两向量的夹角：

cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．

（2）两向量垂直的应用：

两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·

b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.

（3）求向量的模：

利用数量积求解长度问题的处理方法有

①a2＝a·

②|a±

b|＝＝.

③若a＝（x，y），则|a|＝.

（1）（2015·

湖北）已知向量⊥，||＝3，则·

＝________.

（2）（2016·

绍兴二模）已知单位向量a和b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b夹角的余弦值为（　　）

A．－B．－

（3）在△ABC中，若A＝120°

，·

＝－1，则||的最小值是（　　）

A.B．2

C.D．6

答案　

（1）9　

（2）C　（3）C

解析　

（1）因为⊥，所以·

＝0.所以·

（＋）＝2＋·

＝||2＋0＝32＝9.

（2）由|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝|a－b|，

得2＋2a·

b＝2（1－2a·

b＋1），

即a·

b＝，cos〈a，b〉＝＝.

（3）∵·

＝－1，

∴||·

||·

即||·

||＝2，

∴||2＝|－|2＝2－2·

＋2

≥2||·

||－2·

＝6，

∴||min＝.

题型三　平面向量与三角函数

例4　（2015·

广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝（sinx，cosx），x∈.

（1）若m⊥n，求tanx的值；

（2）若m与n的夹角为，求x的值．

解　

（1）因为m＝，n＝（sinx，cosx），m⊥n.

所以m·

n＝0，即sinx－cosx＝0，

所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.

（2）因为|m|＝|n|＝1，所以m·

n＝cos＝，

即sinx－cosx＝，

所以sin＝，

因为0<

x<

，所以－<

x－<

所以x－＝，即x＝.

思维升华　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

（1）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

（2）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

（1）已知O为坐标原点，向量＝（3sinα，cosα），＝（2sinα，5sinα－4cosα），α∈，且⊥，则tanα的值为（　　）

（2）已知向量a＝（－，），＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________．

答案　

（1）A　

（2）1

解析　

（1）由题意知6sin2α＋cosα·

（5sinα－4cosα）＝0，即6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，上述等