初中数学 备战中考 考点03 分式与二次根式 知识整合与考情考向分析Word文件下载.docx

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分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．

【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．

5．通分及通分法则

（1）通分：

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．

（2）通分法则

把两个或者几个分式通分：

①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；

②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；

③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．

【注】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．

6．最简公分母：

几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．

7．分式的运算

（1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：

分母不变，分子相加减．用式子表示为：

．

②异分母的分式相加减法则：

先通分，变为同分母的分式，然后再加减．

用式子表示为：

（2）分式的乘法

乘法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：

（3）分式的除法

除法法则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．

（4）分式的乘方

乘方法则：

分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：

为正整数，．

（5）分式的混合运算

含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．

混合运算顺序：

先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．

二、二次根式

1．二次根式的有关概念

（1）二次根式的概念

形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．

【注】被开方数只能是非负数．即要使二次根式有意义，则a≥0．

（2）最简二次根式：

被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．

（3）同类二次根式：

化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．

2．二次根式的性质

（1）≥0（≥0）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）．

3．二次根式的运算

（1）二次根式的加减

合并同类二次根式：

在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．

（2）二次根式的乘除

；

（3）二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．

在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．

考向分析

考向一分式的有关概念

1．分式的三要素：

（1）形如的式子；

（2）均为整式；

（3）分母中含有字母．

2．分式的意义：

（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即．

（2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．

典例讲解

1．（2020·

江苏南京·

中考真题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．

【答案】

【分析】由分式有意义的条件可得答案．

【解析】解：

由题意得：

故答案为：

【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．

2．（2020·

湖南郴州·

中考真题）若分式的值不存在，则__________．

【答案】-1

【分析】根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．

【解析】∵分式的值不存在，∴x+1=0，解得：

x=-1，故答案为：

-1．

【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．

3．（2020·

浙江金华·

中考真题）分式的值是零，则x的值为（）

A．5B．2C．－2D．－5

【答案】D

【分析】分式的值为零：

分子等于零，且分母不等于零．

依题意，得x+5=0，且x-2≠0，解得，x=-5,且x≠2,即答案为x=-5．故选：

D．

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：

（1）分子为0；

（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

变式训练

湖南衡阳·

中考真题）要使分式有意义，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据分式有意义的条件即可解答．

【解析】根据题意可知，，即．故选：

B．

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键．

贵州贵阳·

中考真题）当时，下列分式没有意义的是（）

【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.

【解析】,当x=1时,分母为零,分式无意义.故选B.

【点睛】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件.

江苏淮安·

）方程的解为__________．

【答案】x=-2

【分析】先用异分母分式加法法则运算，然后利用分式为零的条件解答即可．

则：

，解得x=-2．

故答案为x=-2．

【点睛】本题考查了异分母分式加法法则和分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键．

考向二分式的基本性质

分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：

（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；

（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．

河北中考真题）若，则下列分式化简正确的是（）

【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．

【解析】∵a≠b，∴，选项A错误；

，选项B错误；

，选项C错误；

，选项D正确；

故选：

【点睛】本题考查分式的性质，解答本题的关键是明确分式的性质．

1．（2019·

江苏扬州·

中考真题）分式可变形为（）

A．B．-C．D．

【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可.

【解析】A.≠，故A选项错误；

B.-=≠，故B选项错误；

C.=-，故C选项错误；

D.==，故D选项正确，故选D.

【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．

考向三分式的约分与通分

约分与通分的区别与联系：

1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；

2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；

3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．

1.（2020.成都市中考模拟）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确

A．约分的结果是B．分式与的最简公分母是x-1

C．约分的结果是1D．化简-的结果是1

【解析】A、=，故本选项错误；

B、分式与的最简公分母是x2-1，故本选项错误；

C、=，故本选项错误；

D、-=1，故本选项正确，故选D．

【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握．

2．（山东滨州·

中考真题）下列分式中，最简分式是（）

【答案】A

【解析】选项A为最简分式；

选项B化简可得原式==；

选项C化简可得原式==；

选项D化简可得原式==，

故答案选A.

考点：

最简分式.

内蒙古呼和浩特·

中考真题）分式与的最简公分母是_______，方程的解是____________．

【答案】x=-4

【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．

∵，∴分式与的最简公分母是，

方程，去分母得：

，去括号得：

，

移项合并得：

，变形得：

，解得：

x=2或-4，

∵当x=2时，=0，当x=-4时，≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：

x=-4．

【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．

浙江湖州·

中考真题）化简：

＝_____．

【分析】先将分母因式分解，再根据分式的基本性质约分即可．

【解析】＝＝．故答案为：

【点睛】本题考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本题的关键是掌握分式的基本性质以及因式分解的方法．

考向四分式的运算

（1）分式的加减运算：

异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．

（2）分式的乘除运算：

分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．

（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．

（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．

山西中考真题）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

第一步

第二步

第三步

第四步

　第五步

　第六步

任务一：

填空：

①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；

②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；

任务二：

请直接写出该分式化简后的正确结果；

任务三：

除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．

【答案】任务一：

①三；

分式的基本性质；

分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；

②五；

括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；

最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析．

【分析】先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整式．

【解析