一元二次方程根与系数的关系Word格式.docx
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（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2X2-3x+i=0的两根为Xi,X2,不解方程，求xi2+X22的值。
3£
3£
5
[JXi+X2=-,XiX2=亠，.•.Xi2+X22=（Xi+X2）2-2XiX2=（-）2-2哭=丨]
（4）验根、求根、确定根的符号。
（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。
（6）已知两数和与积，求这两个数。
（7）解特殊的方程或方程组。
考题评析
1•（北京市东城区）如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为X1,X2，那么X1+X2与XiX2的值
分别为（
）
（A）
3,2（B）-3,-2（C）3,-2
（D）-3,2
考点：
一元二次方程的根与系数关系。
—
评析：
由一一元-二次方程ax+bx+c=0（a疋的两根
X1,X2,满足X1+X2=■-,X1X2=-可直接计算,
答案为B。
2.（杭州市）若汕匚是方程…J一：
-的两个根9；
「山J1的值为（）
（A）-（B）1（C）一「（D）'
'
皿
答案：
A
蛊］十K：
2=——K,■X.=—
评析思路：
由韦达定理知二，’=!
先求岀X1+X2,X1X2的值，然后将代
数式（X1+1）（X2+1）展开，最后将X1+X2,X1X2的值代入即可。
3•（辽宁省）下列方程中，两根分别为一"
的是（）
（A）二一二I-一（B）•〒一工I-一（C）「一二I--I（D）
x2-'
4=0
B
一元二次方程根与系数的关系
因给岀了二根，所以好求二根和二根积，再根据X1+X2=-pX1X2=q，即可确定正
确答案为B。
4•（辽宁省）已知aB是方程卫亠=°
的两个实数根，则口口的值为。
由根与系数的关系可知a+b=-2，ab=-5。
而所求式中有a2+2a部分，因a是方程
的根，所以有a2+2a-5=0,即卩a2+2a=5，再加ab，原式值为0。
5•（河南省）关于X的方程；
"
1'
+1'
-■'
-：
，是否存在负数k，使方程的两个
实数根的倒数和等于4?
若存在，求岀满足条件的k的值；
若不存在，说明理由。
又:
•••4k2-5k-9=0.
9
解这个方程，得k1=-1，k2=--（不合题意，舍去）当k=-1时，原方程的判别式
△=b2-4ac=[-（5k+1）]2-4（k2-2）
=（-4）2-4（1-2）=20>
0.
所以存在满足条件的负数k，k=-1.
一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。
此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下，按照给岀的条件进行讨论,
因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意厶>
0。
答案:
7•（广州市）已知2是关于X的方程x2+3mx-10=0的一个根，则m=
一元二次方程的根与系数关系
根据方程解的概念，将未知数的值代入方程求岀m，或利用根与系数的关系解方程组
求出。
1
8
=2，贝Um=
•（贵阳市）若Xi,x2是方程x2-2x+m=0的两个根，且-
一元二次方程根与系数关系
、、一一、、口2、X】+幻=--朋•巧■£
由一兀二次方程ax2+bx+c=0（a^0的两根xi、X2与系数的关系-，丄
十
得x什X2=2xiX2=m，求r■■-的值，代入已知的等式求岀m
9.（河北省）在Rt△ABC中，/C=9O0,a、b、c分别是/A、/B、/C的对边，a、b是关于x的方程人丁T■--的两根，那么AB边上的中线长是（）
35
（A）二（B）二（C）5（D）2
直角三角形三边关系勾股定理、根与系数的关系
因直角三角形两直角边a、b是方程的二根，.••有a+b=7①ab=c+7②，由勾股定
理知c2=a2+b2③，联立①②③组成方程组求得c=5，•••斜边上的中线为斜边的一半，故选B。
10.（北京市海淀区）已知：
关于x的方程八豐-；
_-①的两个实数根的倒数和等于3,
关于x的方程n
A-1
=0②有实数根且k为正整数，求代数式氏一2的值。
根的判别式，根与系数的关系。
先根据根与系数的关系求得a值，再将a代入到第二个方程。
因第二个方程只证有实
根，所以k可以等于1,然后再根据△的范围再确定k值，分别代入所求代数式就可以了。
说明学生往往忽略k=1的这种情况：
认为一元二次方程有实根，必是两个，这是不全面的，也有的不考虑△的范围。
J_丄
11.（河北省）若X1、X2是一元二次方程3x2+x-仁0的两个根，则+亠的值是（）
（A）-1（B）0（C）1（D）2
1I人十心11
一「
石耳2变形为八■心，最后将Xl+X2=-'
X1X2=-：
代入即可，故选C。
12.（哈尔滨市）已知：
△ABC的两边AB、AC的长是关于X的一元二次方程
x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5.
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求岀厶ABC的周长.
Rt△三边关系，等腰三角形底与腰的关系，一元二次方程根与系数关系
（1）已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程，而是利用根与系数的关系达到目的，又根据Rt△三边的关系AB2+AC2=BC2可知，通过AB2+AC2=（AB+AC）2-2AB-AC可实现。
k=2或k=-5
注：
如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。
（2）首先利用判断式判断AB与AC是否相等，再考虑其它情况，即AB=BC或AC=BC，
当AB=BC或AC=BC时，BC=5是一元二次方程的一个根，故可求k的值，也就可求另一个根，三角形的周长可求。
14或16.
在求周长时，应判断是否能构成三角形。
13•（安徽）已知方程x2+（1--f）X^■=0的两根为X1、X2,求X-+X；
的值。
X1+X2、X1X2的值然后将X12+X22=（X1+X2）2-2X1X2变为以
解：
由根与系数关系,
X-+X±
=（X1+X2）2-2X1X2
=（J--1）2+2「'
：
=3-2】+2
=3.
说明：
如果先解岀根X1、X2,再求岀X-+X=的正确值可以。
14•（北京市东城区）已知关于x的方程x2-（k-1）x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4,
求实数k的值。
先设方程二根为X1、X2，分别求岀X1+X2,X1X2的值，再根据两根的平方和是4,求
岀k值，但必须保证方程有两个实根，所以还必须保证△才能确定k的值，此题一些考生忽
略厶的隐含条件的。
设方程X2-（k-1）X+k+1=0的两个实数根是X1,X2，那么
X1+X2=k-1,X1X2=k+1.
22
由xl+x」=4,
得（X1+X2）2-2X1X2=4.
即（k-1）2-2（k+1）=4
k-4k-5=0
解这个方程，得
k=5或k=-1.
当k=5时,△=（51）2-4（5+1）<
0,
原方程无实数根，故x=5舍去.
当k=-1时,△=（1-1）2-4（-1+1）>
因此，k=-1为所求。
真题实战
1•（常州市）已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根是2，则另一个根是，m=
-3;
1
2•（天门市）若方程-2-:
「一［的两根是X1、X2，则代数式■'
■-〔的值
6
3•已知Xi、X2是方程X2—x—1=0的两个根，则-；
1一一的值是（）
A、1B、一1C、±
D、0
丄丄2
4•（石家庄市）设方程二】一丄亠--的两根为Xi和X2,且b-，则m等于（）
A•—8B•—4
C
5•（潍坊市）下列方程中，两实数根的和等于2的方程是（）
A•2x2—4x+3=0
B•2x2—2x—3=0
C•2x+4X—3=0
D•2x2—4x—3=0
D
6•（山西省）若方程
x"
的二根为X1,X2,则代数式/:
:
的值是（）
A•6B•4
C•2D•-2
设方程的另一根为X1，那么-2x1=-5，
5
^=—
12
--k=-1o
答：
方程的另一根是-，k的值是-1
丄
8•（苏州市）已知关于x的方程x2+（m—2）x+'
m—3=0。
（1）求证：
无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根;
（2）若这个方程的两个实数根X1,X2满足2x1+X2=m+1,求m的值。
1
A=（pm-2）3-4（—阳_J）
（1）证明：
•••二
二地'
一6牌+16
=（酬-3/+7》0
•••无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根
⑵解TX1,X2是这个方程的两个实数根
又2xi+x2=m+1,（3）
（3）-
（1）,得Xi=2m-1⑷
把⑷代入
（1）,得
x2=3-3m（5）
把⑷、（5）
代入
（2）,得（2m-1）（3-3m）=-
hl=OFirL.=—
s12
9•（南通市）设X1、X2是关于X的方程X2-（k+2）+2k+1=0的两个实数根，且X12+X22=11.
（1）求k的值；
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