一元二次方程根与系数的关系Word格式.docx

1、（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。如，方程2X2-3x+i=0的两根为Xi,X2,不解方程，求 xi2+X22的值。3 3 5J Xi+X2=- , Xi X2=亠，. Xi2+X22 = （Xi+X2）2-2XiX2=（ - ）2-2 哭 =丨（4）验根、求根、确定根的符号。（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。（6）已知两数和与积，求这两个数。（7）解特殊的方程或方程组。考题评析1（北京市东城区）如果一元二次方程 x2+3x-2=0的两个根为X1 , X2，那么X1+X2与Xi X2的值分别为（）（A）3 , 2 （

2、 B） -3 , -2 （ C） 3, -2（D） -3, 2考点：一元二次方程的根与系数关系。 评析：由一一元-二次方程 ax +bx+c=0 （a疋的两根X1,X2,满足 X1+X2= - , X1X2=-可直接计算,答案为B。2.（杭州市）若汕匚是方程 J 一： - 的两个根9 ；山J 1的值为（ ）（A） - （ B） 1 （ C） 一（ D） 皿答案：A蛊十 K：2 = K, X.=评析思路：由韦达定理知 二， =!,先求岀X1+X2, X1 X2的值，然后将代数式（X1+1）（X2 + 1）展开，最后将 X1+X2, X1 X2的值代入即可。3（辽宁省）下列方程中，两根分别为 一

3、的是（ ）（A）二 一二 I -一 （ B） 一工 I -一 （C）一二 I - - I （D）x2 - 4 = 0B一元二次方程 根与系数的关系因给岀了二根，所以好求二根和二根积，再根据 X1+X2=-p X1 X2=q，即可确定正确答案为B。4（辽宁省）已知a B是方程卫亠= 的两个实数根，则口 口的值为。由根与系数的关系可知 a+b=-2，a b= -5。而所求式中有 a2+2a部分，因a是方程的根，所以有 a2+2a-5=0, 即卩a2+2a=5，再加a b，原式值为0。5（河南省）关于 X的方程；1 + 1 - -： ，是否存在负数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 4?若存在，求

4、岀满足条件的 k的值；若不存在，说明理由。又: 4k2-5k-9=0.9解这个方程，得k1=-1，k2=-（不合题意，舍去） 当k=-1时，原方程的判别式 =b2-4ac=-（5k+1） 2-4（k2-2）=（-4） 2-4（1-2）=200.所以存在满足条件的负数 k，k=-1.一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下， 按照给岀的条件进行讨论,因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意厶 0。答案:7（广州市）已知 2是关于X的方程x2+3mx-10=0的一个根，则 m=一元二次方程的根与系数关系根据方程解的概念， 将未知数的值代

5、入方程求岀 m，或利用根与系数的关系解方程组求出。18=2，贝U m=（贵阳市）若 Xi,x2是方程x2-2x+m=0的两个根，且 -一元二次方程根与系数关系、一一、口 2 、 X】+ 幻=-朋巧由一兀二次方程 ax2+bx+c=0 （a0的两根xi、X2与系数的关系 -， 丄十得x什X2=2 xiX2=m，求 r -的值，代入已知的等式求岀m9.（河北省）在 Rt ABC中，/ C=9O0, a、b、c分别是/ A、/ B、/ C的对边，a、b是 关于x的方程人 丁 T -的两根，那么 AB边上的中线长是（ ）3 5（A）二 （B）二 （C） 5 （ D） 2直角三角形三边关系勾股定理、根与

6、系数的关系因直角三角形两直角边 a、b是方程的二根，.有 a+b=7a b=c+7，由勾股定理知c2=a2+b2，联立组成方程组求得 c=5，斜边上的中线为斜边的一半，故选 B。10.（北京市海淀区） 已知：关于x的方程八豐-；_ -的两个实数根的倒数和等于 3,关于x的方程nA-1=0有实数根且 k为正整数，求代数式 氏一 2的值。根的判别式，根与系数的关系。先根据根与系数的关系求得 a值，再将a代入到第二个方程。 因第二个方程只证有实根，所以k可以等于1,然后再根据 的范围再确定k值，分别代入所求代数式就可以了。说明学生往往忽略 k=1的这种情况：认为一元二次方程有实根，必是两个，这是不全

7、面的， 也有的不考虑 的范围。J_丄11.（河北省）若 X1、X2是一元二次方程 3x2+x-仁0的两个根，则+亠的值是（）（A）-1 （B）0 （C）1 （D）21 I 人十心 1 1 一 石 耳2变形为八心，最后将Xl+X2=- , X1 X2=-：代入即可，故选 C。12.（哈尔滨市）已知： ABC的两边AB、AC的长是关于X的一元二次方程x2-（2k+3）x+k 2+3k+2=0的两个实数根，第三边 BC的长为5.（1） k为何值时， ABC是以BC为斜边的直角三角形.（2） k为何值时， ABC是等腰三角形，并求岀厶 ABC的周长.Rt 三边关系，等腰三角形底与腰的关系 ，一元二次方

8、程根与系数关系（1）已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程，而是利用根与系数的关系达到目的， 又根据Rt三边的关系 AB2+AC2=BC2可知，通过 AB 2+AC 2=（AB+AC） 2-2AB- AC可实现。k=2或k= -5注：如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。（2） 首先利用判断式判断 AB与AC是否相等，再考虑其它情况，即 AB=BC或AC=BC，当AB=BC或AC=BC时，BC=5是一元二次方程的一个根，故可求 k的值，也就可求另一个根， 三角形的周长可求。14或16.在求周长时，应判断是否能构成三角形。13（安徽）已知方程 x2 + （1-f）X =0的两根

9、为X1、X2,求X- +X；的值。X1+X2、X1 X2 的值然后将 X12+X22=（X1+X2）2-2X1X2 变为以解：由根与系数关系,X- +X =（X1+X2）2-2X1X2=（J- -1）2+2：=3-2 】+2=3.说明：如果先解岀根 X1、X2,再求岀X- +X=的正确值可以。14（北京市东城区）已知关于 x的方程x2-（k-1）x+k+1=0的两个实数根的平方和等于 4,求实数k的值。先设方程二根为 X1、X2，分别求岀X1+X2 , X1 X2的值，再根据两根的平方和是 4,求岀k值，但必须保证方程有两个实根，所以还必须保证 才能确定k的值，此题一些考生忽略厶的隐含条件的。

10、设方程 X2-（k-1）X+k+1=0的两个实数根是 X1, X2，那么X1+X2=k-1, X 1 X2 = k+1.22由 xl +x=4,得（X1+X 2）2-2X1X2=4.即（k-1）2-2（k+1）=4k -4k-5=0解这个方程，得k=5 或 k=-1.当 k=5 时, =（51）2-4（5+1）因此，k=-1为所求。真题实战1 （常州市）已知关于x的方程x2+mx - 6=0的一个根是2，则另一个根是 ，m= -3; 12 （天门市）若方程 - 2-: 一 的两根是X1、X2，则代数式 - 的值63已知Xi、X2是方程X2 x 1=0的两个根，则-；1 一一的值是（ ）A、1

11、B、一 1 C、 D、0丄丄24（石家庄市）设方程二】 一丄亠 -的两根为Xi和X2,且b-，则m等于（ ）A 8 B 4C5 （潍坊市）下列方程中，两实数根的和等于 2的方程是（ ）A 2x2 4x+3=0B 2x2 2x 3=0C 2x +4X 3=0D 2x2 4x 3=0D6 （山西省）若方程x的二根为X1, X2,则代数式/ :的值是（）A 6 B 4C 2 D -2设方程的另一根为 X1，那么 -2x 1=-5，5 =1 2-k=-1 o答：方程的另一根是 -，k的值是-1丄8（苏州市）已知关于 x的方程x2+（m 2）x+ m 3=0。（1） 求证：无论 m取什么实数值，这个方程

12、总有两个不相等的实数根;（2） 若这个方程的两个实数根 X1,X2满足2x1+X2=m+1,求m的值。, 1A = （pm - 2）3 - 4（阳 _ J）（1）证明： 二二地一 6牌 +16=（酬-3/ + 70无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根解T X1,X2是这个方程的两个实数根又 2xi+x2=m+1,（3）（3）-（1）,得 Xi=2m-1 把代入（1）,得x2=3-3m （5）把、（5）代入（2）,得（2m-1）（3-3m）=-hl =OFirL.=s 129（南通市）设 X1、X2是关于X的方程X2 - （k+2）+2k+1=0的两个实数根，且 X12+X22=11.（1）求k的值；