高中数学第一章三角函数12任意的三角函数121第2课时三角函数线及其应用学案新人教a版必修76Word文档下载推荐.docx
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(2)图示:
[&
~%^*]
图123[~*@%#]
(3)结论:
有向线段MP、OM、AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.
[基础自测]
1.思考辨析
(1)角α的正弦线的长度等于sinα.( )
(2)当角α的终边在y轴上时,角α的正切线不存在.( )
(3)余弦线和正切线的始点都是原点.( )
[解析]
(1)错误.角α的正弦线的长度等于|sinα|.
(2)正确.
(3)错误.正切线的始点是(1,0).
[答案]
(1)×
(2)√ (3)×
2.角和角有相同的( )
A.正弦线 B.余弦线
C.正切线D.不能确定
C [角和角的终边互为反向延长线,所以正切线相同.]
3.如图124,在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
图124[@*~^&
]
A.正弦线MP,正切线A′T′
B.正弦线MP,正切线A′T′
C.正弦线MP,正切线AT
D.正弦线MP,正切线AT
C [α为第三象限角,故正弦线为MP,正切线为AT,C正确.]
[合作探究·
攻重难]
作已知角的三角函数线
作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.
(1)-;
(2);
(3).
[解] 如图.
其中MP为正弦线,OM为余弦线,AT为正切线.
[规律方法] 三角函数线的画法
1作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线.[&
^%@~]
2作正切线时,应从A1,0点引x轴的垂线,交α的终边α为第一或第四象限角或α终边的反向延长线α为第二或第三象限角于点T,即可得到正切线AT.[@&
*%~]
[跟踪训练]
1.作出-的正弦线、余弦线和正切线.
[解] 如图:
sin=MP,[#^%&
cos=OM,
tan=AT.
利用三角函数线解三角不等式
[探究问题]
1.利用三角函数线如何解答形如sinα≥a,sinα≤a(|a|≤1)的不等式?
提示:
对形如sinα≥a,sinα≤a(|a|≤1)
的不等式:
画出如图①所示的单位圆;
在y轴上截取OM=a,过点(0,a)作y轴的垂线交单位圆于两点P和P′,并作射线OP和OP′;
写出终边在OP和OP′上的角的集合;
图中阴影部分即为满足不等式sinα≤a的角α的范围,其余部分即为满足不等式sinα≥a的角α的范围.[%@~^&
[*&
~^#]
图①
2.利用三角函数线如何解答形如cosα≥a,cosα≤a(|a|≤1)的不等式?
对形如cosα≥a,cosα≤a(|a|≤1)的不等式:
#@*%]
画出如图②所示的单位圆;
在x轴上截取OM=a,过点(a,0)作x轴的垂线交单位圆于两点P和P′,作射线OP和OP′;
图中阴影部分即为满足不等式cosα≤a的角α的范围,其余部分即为满足不等式cosα≥a的角α的范围.
图②
利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围.
(1)cosα>-;
(2)tanα≤;
(3)|sinα|≤.
[思路探究] ―→―→
[解]
(1)如图,由余弦线知角α的取值范围是.
(2)如图,由正切线知角α的取值范围是.
[%#*~@]
(3)由|sinα|≤,得-≤sinα≤.
如图,由正弦线知角α的取值范围是.
[规律方法] 利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法
1首先作出单位圆,然后根据各问题的约束条件,利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.
2角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值,与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.
3写角的范围时,抓住边界值,然后再注意角的范围的写法要求.
提醒:
在一定范围内先找出符合条件的角,再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合.
母题探究:
1.将本例
(1)的不等式改为“cosα<”,求α的取值范围.
[解] 如图,由余弦线知角α的取值范围是.
2.将本例(3)的不等式改为“-≤sinθ<”求α的取值范围.[~%@^&
[解] 由三角函数线可知sin=sin=,sin=sin=-,且-≤sinθ<,故θ的取值集合是∪(k∈Z).
利用三角函数线比较大小
(1)已知cosα>cosβ,那么下列结论成立的是( )
A.若α、β是第一象限角,则sinα>sinβ[#*^~%]
B.若α、β是第二象限角,则tanα>tanβ[%^#&
*]
C.若α、β是第三象限角,则sinα>sinβ
D.若α、β是第四象限角,则tanα>tanβ[&
~#@*]
(2)利用三角函数线比较sin和sin,cos和cos,tan和tan的大小.
[思路探究]
(1)→
(2)→
(1)D [由图
(1)可知,cosα>cosβ时,sinα<sinβ,故A错误;
[~#%&
图
(1)
由图
(2)可知,cosα>cosβ时,tanα<tanβ,故B错误;
图
(2)[^%~&
由图(3)可知,cosα>cosβ时,sinα<sinβ,C错误;
图(3)
由图(4)可知,cosα>cosβ时,tanα>tanβ,D正确.]
图(4)[#~^@%]
(2)如图,sin=MP,cos=OM,tan=AT,sin=M′P′,cos=OM′,tan=AT′.[~*%&
#]
显然|MP|>|M′P′|,符号皆正,
∴sin>sin;
|OM|<|OM′|,符号皆负,∴cos>cos;
|AT|>|AT′|,符号皆负,∴tan<tan.
[规律方法] 1利用三角函数线比较大小的步骤:
①角的位置要“对号入座”;
②比较三角函数线的长度;
③确定有向线段的正负.
2利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点:
①关键:
在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.
②注意点:
比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.
2.已知a=sin,b=cos,c=tan,则( )
A.a<b<c B.a<c<b
C.b<c<aD.b<a<c
D [由如图的三角函数线知:
MP<AT,因为>=,[%#~^&
所以MP>OM,
所以cos<sin<tan,
所以b<a<c.]
[当堂达标·
固双基]
1.如果OM,MP分别是角α=余弦线和正弦线,那么下列结论正确的是
( )
A.MP<OM<0 B.MP<0<OM
C.MP>OM>0D.OM>MP>0[@&
^%~]
D [角β=的余弦线正弦线相等,结合图象可知角α=的余弦线和正弦线满足OM>MP>0.][*&
@~#]
2.若角α的余弦线是单位长度的有向线段,那么角α终边在( )[@&
~^%]
A.y轴上B.x轴上
C.直线y=x上D.直线y=-x上
B [由已知得,角α的终边与单位圆的交点坐标为(-1,0)或(1,0),在x轴上.]
3.利用正弦线比较sin1,sin1.2,sin1.5的大小关系是( )
A.sin1>sin1.2>sin1.5
B.sin1>sin1.5>sin1.2
C.sin1.5>sin1.2>sin1
D.sin1.2>sin1>sin1.5
C [如图,画出已知三个角的正弦线,观察可知sin1.5>sin1.2>sin1.]
4.若a=sin4,b=cos4,则a,b的大小关系为________.
a<b [因为<4<,
画出4弧度角的正弦线和余弦弦(如图),[&
^~@#]
观察可知sin4<cos4,即a<b.]
5.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围,并由此写出角α的集合.
(1)sinα≥;
(2)cosα≤-.[*^%&
~]
[解]
(1)作直线y=交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则角α的终边在如图①所示的阴影区域内(含边界),角α的取值集合为.
图① 图②[#&
^@%]
(2)作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则角α的终边在如图②所示的阴影区域内(含边界),角α的取值集合为.