解一元一次方程提高篇Word文件下载.docx
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(2)去括号一般按由向外的顺序进行,也可以根据方程的特点按由外向的顺序进行.
(3)当方程中含有小数或分数形式的分母时,一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母,注意去分母的依据是等式的性质,而分母化整的依据是分数的性质,两者不要混淆.
要点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去,使之成为一般的一元一次方程,化去绝对值的依据是绝对值的意义.
此类问题一般先把方程化为的形式,分类讨论:
(1)当时,无解;
(2)当时,原方程化为:
;
(3)当时,原方程可化为:
或.
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax=b,再分三种情况分类讨论:
(1)当a≠0时,;
(2)当a=0,b=0时,x为任意有理数;
(3)当a=0,b≠0时,方程无解.
(2)
【典型例题】
类型一、解较简单的一元一次方程
1.解方程:
(1);
(2).
【答案与解析】
解:
(1).
移项,合并得.
系数化为1,得x=48.
(2)15.4x+32=-0.6x.
移项,得15.4x+0.6x=-32.
合并,得16x=-32.
系数化为1,得x=-2.
【总结升华】方法规律:
解较简单的一元一次方程的一般步骤:
(1)移项:
即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边,把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边.
(2)合并:
即通过合并将方程化为ax=b(a≠0).
(3)系数化为1:
即根据等式性质2:
方程两边都除以未知数系数a,即得方程的解.
举一反三:
【变式】下列方程的解法对不对?
如果不对,错在哪里?
应当怎样改正?
3x+2=7x+5
解:
移项得3x+7x=2+5,合并得10x=7,
系数化为1得.
【答案】以上的解法是错误的,其错误的原因是在移项时没有变号,也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x,方程左边的2移到方程右边应变为-2.
正确解法:
移项得3x-7x=5-2,合并得-4x=3,系数化为1得.
类型二、去括号解一元一次方程
2.解方程:
【答案与解析】
解法1:
先去小括号得:
再去中括号得:
移项,合并得:
系数化为1,得:
解法2:
两边均乘以2,去中括号得:
去小括号,并移项合并得:
,解得:
解法3:
原方程可化为:
去中括号,得
移项、合并,得
解得
【总结升华】解含有括号的一元一次方程时,一般方法是由到外或由外到逐层去括号,但有时根据方程的结构特点,灵活恰当地去括号,以使计算简便.例如本题的方法3:
方程左、右两边都含(x-1),因此将方程左边括号的一项x变为(x-1)后,把(x-1)视为一个整体运算.
3.解方程:
.
【答案与解析】
(层层去括号)
去小括号,
去中括号,
去大括号,
移项、合并同类项,得,系数化为1,得x=30.
解法2:
(层层去分母)
移项,得,
两边都乘2,得,
两边都乘2,得
移项,得,两边都乘2,得,
移项,得,系数化为1,得x=30.
【总结升华】此题既可以按去括号的思路做,也可以按去分母的思路做.
【变式】解方程.
【答案】
方程两边同乘2,得,
移项、合并同类项,得,
两边同乘以3,得.
移项、合并同类项,得,
两边同乘以4,得,
移项,得,系数化为1,得x=5.
类型三、解含分母的一元一次方程
4.解方程:
【思路点拨】先将方程中的小数化成整数,再去分母,这样可避免小数运算带来的失误.
将分母化为整数得:
约分,得:
8x-3-25x+4=12-10x
方程两边同乘以1,去分母得:
8x-3-25x+4=12-10x
【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数,再去分母,如解法1;
但有时直接去分母更简便一些,如解法2.
原方程可化为.
去分母,得3(4y+9)-5(3+2y)=15.
去括号,得12y+27-15-10y=15.
移项、合并同类项,得2y=3.
系数化为1,得.
类型四、解含绝对值的方程
5.解方程:
3|2x|-2=0
【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体,先求出整体的值,再求x的值.
当x≥0时,得,解得:
,
当x<0时,得,解得:
,
所以原方程的解是x=或x=.
【总结升华】此类问题一般先把方程化为的形式,再根据()的正负分类讨论,注意不要漏解.
【变式】解方程|x-2|-1=0.
|x-2|=1,当x-2≥0,即x≥2时,原方程可化为x-2=1,解得x=3;
当x-2<0,即x<2时,原方程变形为-(x-2)=1,解得x=1.K]
所以原方程的解为x=3或x=1.
类型五、解含字母系数的方程
6.解关于的方程:
当,即时,方程有唯一解为:
当,即时,方程无解.
【总结升华】解含字母系数的方程时,先化为最简形式,再根据系数是否为零进行分类讨论.
【变式】若关于x的方程(k-4)x=6有正整数解,求自然数k的值.
∵原方程有解,∴
原方程的解为:
为正整数,∴应为6的正约数,即可为:
1,2,3,6
∴为:
5,6,7,10
答:
自然数k的值为:
5,6,7,10.
巩固练习题
一、选择题
1.关于x的方程3x+5=0与3x+3k=1的解相同,则k的值为().
A.-2B.C.2D.
2.下列说确的是()
A.由7x=4x-3移项得7x-4x=-3
B.由去分母得2(2x-1)=1+3(x-3)
C.由2(2x-1)-3(x-3)=1去括号得4x-2-3x-9=4
D.由2(x-1)=x+7移项合并同类项得x=5
3.将方程去分母得到方程6x-3-2x-2=6,其错误的原因是()
A.分母的最小公倍数找错
B.去分母时,漏乘了分母为1的项
C.去分母时,分子部分的多项式未添括号,造成符号错误
D.去分母时,分子未乘相应的数
4.解方程,较简便的是().
A.先去分母B.先去括号C.先两边都除以D.先两边都乘以
5.小明在做解方程作业时,不小心将方程中一个常数污染了看不清楚,被污染的方程是:
■,怎么办呢?
小明想了想,便翻看了书后的答案,此方程的解是,于是小明很快补上了这个常数,并迅速完成了作业.同学们,你们能补出这个常数吗?
它应是().
A.1B.2C.3D.4
6.(日照)某道路一侧原有路灯106盏,相邻两盏灯的距离为36米,现计划全部更换为新型的节能灯,且相邻两盏灯的距离变为70米,则需更换的新型节能灯有()
A.54盏B.55盏C.56盏D.57盏
7.“△”表示一种运算符号,其意义是,若,则等于()。
A.1 B. C. D.2
8.关于的方程无解,则是()
A.正数 B.非正数 C.负数 D.非负数
二、填空题
9.()已知方程,那么方程的解是.
10.当x=_____时,x-的值等于2.
11.已知关于x的方程的解是4,则________.
12.若关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则整数a的值是.
13.已知关于的方程的解满足,则的值是____________.
14.a、b、c、d为有理数,现规定一种新的运算:
,那么当时,则x=______.
三、解答题
15.解下列方程:
(1).
(2).
(3)。
17.如图所示,用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD,
其中,GH=2cm,GK=2cm,设BF=xcm,
(1)用含x的代数式表示CM=xcm,DM=2x+2cm.
(2)若DC=10cm,求x的值.
(3)求长方形ABCD的面积.
1.【答案】C
【解析】方程3x+5=0的解为,代入方程3x+3k=1,再解方程可求出k.
2.【答案】A.
【解析】由7x=4x-3移项得7x-4x=-3;
B.去分母得2(2x-1)=6+3(x-3);
C.把2(2x-1)-3(x-3)=1去括号得4x-2-3x+9=1;
D.2(x-1)=x+7,2x-2=x+7,2x-x=7+2,x=9
3.【答案】C
【解析】把方程去分母,得3(2x-1)-2(x-1)=6,6x-3-2x+2=6与6x-3-2x-2=6相比较,很显然是符号上的错误.
4.【答案】B
【解析】因为与互为倒数,所以去括号它们的积为1.
5.【答案】B
【解析】设被污染的方程的常数为k,则方程为,把代入方程得,移项得,合并同类项得-k=-2,系数化为1得k=2,故选B.
6.【答案】B
【解析】设有盏,则有个灯距,由题意可得:
7.【答案】B
【解析】由题意可得:
“△”表示2倍的第一个数减去第二个数,由此可得:
而,解得:
8.【答案】B
【解析】原方程可化为:
,将“”看作整体,只有时原方程才无解,由此可得均为零或一正一负,所以的值应为非正数.
二、填空
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】24
【解析】把x=4代入方程,得,解得a=6,从而(-a)2-2a=24.
12.【答案】2或3
【解析】由题意,求出方程的解为:
,,因为解为正整数,所以,即或.
13.【答案】或
【解析】由,得:
,即为。
当时,代入得,;
当时,代入得.
14.【答案】3
【解析】由题意,得2×
5-4(1-x)=18,解得x=3.
15.【解析】
(1)原方程可化为:
解得:
(2)原方程可化为:
(3)原方程可化为:
去分母,化简得:
16.【解析】
当时,方程有唯一解:
当,时,方程无解;
当,时,原方程的解为任意有理数,即有无穷多解.
当,即时,方程有唯一的解:
当,即时,原方程变为.原方程的解为任意有理数,即有无穷多解.
(3)
当时,原方程有唯一解:
当时,原方程的解为任意有理数,即有无穷多解;
当时,原方程无解.
17.【解析】
(1)(或3x).
(2).解得.
(3)从两个角度表示线段DM长度时可得:
3x=2x+2,解得.
长方形的长为:
cm,
宽为:
cm.
所以长