运筹学习题Word下载.docx

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√（12）对偶问题的对偶问题一定是原问题；

√（13）线性规划的原问题有无穷多个最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多个最优解；

√（14）已知yi*>

0为线性规划问题的对偶问题的最优解，若yi*>

0，则说明在最优生产计划中第i种资源已完全耗尽；

（15）已知yi*为线性规划问题的对偶问题的最优解，若yi*=0，则说明在最优生产计划中第i种资源一定有剩余；

（参考下面的举例说明）

（16）若某种资源的影子价格等于k>

0，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k；

√（17）当用对偶单纯形算法求解线性规划时，若单纯形表中某一基变量xi<

0，又xi所在行的元素全部≥0，则可以判断出其对偶问题具有无界解；

（18）线性规划问题中的bi、cj值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；

√（19）在线性规划问题的最优解表中，如某一变量xj为非基变量，则在原问题中，无论改变它在目标函数中的系数cj或在各约束条件中相应的技术系数aij，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。

（15）结论是错误的，现举例如下：

利用单纯形法求解如下：

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

8

1

2

16

4

[4]

检验数

3

[1]

-1/2

1/4

-3/4

-4

[2]

-2

1/2

-1/8

-1

即原问题的最优解为（x1，x2，x3，x4，x5）=（4，2，0，0，0），

对偶问题的最优解应对应于原问题松弛变量x3，x4，x5的检验数，所以为：

（y1，y2，y3）=（2，0，0）。

此时y2=0，y3=0，其对应原问题最优解x1=4，

x2=2，下的后两种资源已全部用完并无剩余。

（16）结论是错误的，现举例如下：

对于上述问题，最优解为x1=4，x2=2，第一种资源即机器台时的影子价格为y1=2>

0，现在我们增加5个机器台时，则上述问题变成：

我们仍然利用单纯形算法求解此问题得如下表：

13

9

5

-1/4

即原问题的最优解为（x1，x2，x3，x4，x5）=（4，2，5，0，0），最优目标函数值仍然为Z=2×

4+3×

3=14≠14+y1×

5=14+2×

5=24。

（20）运输问题是一种特殊的线性规划模型,因而求解结果也可能出现下列情况之一：

有唯一最优解、有无穷多最优解、无界解和无可行解；

（×

）

（21）在运输问题中，只要给出一组含（m+n–1）个非负的{xij}，且满足

，，就可以作为一个初始基可行解；

（22）表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法；

（√）

（23）按最小元素法（或伏格尔法）给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找出而且仅能找出唯一的闭回路；

（24）如果运输问题的单位运价表的某一行（或某一列）元素分别乘上一个常数k，最优调运方案将不会发生变化；

（25）如果运输问题的单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k，最优调运方案将不会发生变化；

（26）当所有产地产量和销地的销量均为整数时，用表上作业法求得的运输问题的最优解也为整数解。

二应用题：

2.1已知某工厂计划生产I、II、III三种产品，各产品需要在A、B、C三种设备上加工，各有关数据见如下表，试回答：

（1）如何充分发挥设备能力，使生产盈利最大？

（2）若为了增加产量，可借用别的工厂的设备B，每月可借用60台时，租金为1.8万元，问借用设备B是否合算？

（3）若另有两种新产品IV、V，其中IV需用设备A—12台时，B—5台时，C—10台时,单位产品盈利2.1千元；

V需用设备A—4台时，B—4台时，C—12台时,单位产品盈利1.87千元。

如果A、B、C三种设备台时不增加，分别回答这两种新产品投产在经济上是否合算？

（4）若对产品工艺重新进行设计和结构改造，而改进后生产每件产品I需用设备A—9台时，设备B—12台时，设备C—4台时,单位产品盈利4.5千元，问这对原计划有何影响？

I

II

III

设备有效台时（每月）

A

10

300

B

400

C

420

单位产品利润（千元）

2.9

解：

设每月生产产品I、II、III的数量分别为x1、x2、x3。

依题意，本问题的线性规划模型为：

（1）利用单纯形法求解如下：

x6

[8]

37.5

0.25

1.25

0.125

25

[2.5]

-4.5

-1.25

345

12.5

7.5

-0.25

-0.85

-0.375

35

1.7

-0.1

-1.8

-0.5

0.4

220

[30]

6

-5

1.4

338/15

-9/100

11/60

-17/300

116/5

-7/50

1/10

3/50

22/3

1/5

-1/6

1/30

-3/100

-4/15

-7/150

即原问题的最优解为（x1，x2，x3，x4，x5）=（338/15，116/5，22/3，0，0）。

目标函数的最优值为：

Z=3×

338/15+2×

116/5+2.9×

22/3=135.27（千元）。

对偶问题的最优解应对应于原问题松弛变量x4，x5，x6的检验数，所以为：

（y1，y2，y3）=（3/100，4/15，7/150）。

（2）

503/15

146/5

-8/3

[-1/6]

153/5

11/10

13/100

-1/50

138/5

3/5

2/25

-6

-6/5

-1/5

-8/5

-7/20

-1/10

这时的最优解为：

（x1，x2，x3，x4，x5）=（153/5，138/5，0，0，16）。

153/5+2×

138/5=147，147-18=129<

135.27（千元）；

故这时借用设备B不合算。

（3）假设新增两种新产品IV、V，他们的数量分别为x4/，x5/，它们的技术向量为：

，增加第IV种新产品的生产不会使总利润增加，因此，在经济上是不合算的；

又，在原问题最优单纯形表中增加一列得下表：

x5/

-23/75

14/25

[8/15]

检