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√(12)对偶问题的对偶问题一定是原问题;

√(13)线性规划的原问题有无穷多个最优解,则其对偶问题也一定具有无穷多个最优解;

√(14)已知yi*>

0为线性规划问题的对偶问题的最优解,若yi*>

0,则说明在最优生产计划中第i种资源已完全耗尽;

(15)已知yi*为线性规划问题的对偶问题的最优解,若yi*=0,则说明在最优生产计划中第i种资源一定有剩余;

(参考下面的举例说明)

(16)若某种资源的影子价格等于k>

0,在其他条件不变的情况下,当该种资源增加5个单位时,相应的目标函数值将增大5k;

√(17)当用对偶单纯形算法求解线性规划时,若单纯形表中某一基变量xi<

0,又xi所在行的元素全部≥0,则可以判断出其对偶问题具有无界解;

(18)线性规划问题中的bi、cj值同时发生变化,反映到最终单纯形表中,不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况;

√(19)在线性规划问题的最优解表中,如某一变量xj为非基变量,则在原问题中,无论改变它在目标函数中的系数cj或在各约束条件中相应的技术系数aij,反映到最终单纯形表中,除该列数字有变化外,将不会引起其他列数字的变化。

(15)结论是错误的,现举例如下:

利用单纯形法求解如下:

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

8

1

2

16

4

[4]

检验数

3

[1]

-1/2

1/4

-3/4

-4

[2]

-2

1/2

-1/8

-1

即原问题的最优解为(x1,x2,x3,x4,x5)=(4,2,0,0,0),

对偶问题的最优解应对应于原问题松弛变量x3,x4,x5的检验数,所以为:

(y1,y2,y3)=(2,0,0)。

此时y2=0,y3=0,其对应原问题最优解x1=4,

x2=2,下的后两种资源已全部用完并无剩余。

(16)结论是错误的,现举例如下:

对于上述问题,最优解为x1=4,x2=2,第一种资源即机器台时的影子价格为y1=2>

0,现在我们增加5个机器台时,则上述问题变成:

我们仍然利用单纯形算法求解此问题得如下表:

13

9

5

-1/4

即原问题的最优解为(x1,x2,x3,x4,x5)=(4,2,5,0,0),最优目标函数值仍然为Z=2×

4+3×

3=14≠14+y1×

5=14+2×

5=24。

(20)运输问题是一种特殊的线性规划模型,因而求解结果也可能出现下列情况之一:

有唯一最优解、有无穷多最优解、无界解和无可行解;

(×

(21)在运输问题中,只要给出一组含(m+n–1)个非负的{xij},且满足

,,就可以作为一个初始基可行解;

(22)表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法;

(√)

(23)按最小元素法(或伏格尔法)给出的初始基可行解,从每一空格出发可以找出而且仅能找出唯一的闭回路;

(24)如果运输问题的单位运价表的某一行(或某一列)元素分别乘上一个常数k,最优调运方案将不会发生变化;

(25)如果运输问题的单位运价表的某一行(或某一列)元素分别加上一个常数k,最优调运方案将不会发生变化;

(26)当所有产地产量和销地的销量均为整数时,用表上作业法求得的运输问题的最优解也为整数解。

二应用题:

2.1已知某工厂计划生产I、II、III三种产品,各产品需要在A、B、C三种设备上加工,各有关数据见如下表,试回答:

(1)如何充分发挥设备能力,使生产盈利最大?

(2)若为了增加产量,可借用别的工厂的设备B,每月可借用60台时,租金为1.8万元,问借用设备B是否合算?

(3)若另有两种新产品IV、V,其中IV需用设备A—12台时,B—5台时,C—10台时,单位产品盈利2.1千元;

V需用设备A—4台时,B—4台时,C—12台时,单位产品盈利1.87千元。

如果A、B、C三种设备台时不增加,分别回答这两种新产品投产在经济上是否合算?

(4)若对产品工艺重新进行设计和结构改造,而改进后生产每件产品I需用设备A—9台时,设备B—12台时,设备C—4台时,单位产品盈利4.5千元,问这对原计划有何影响?

I

II

III

设备有效台时(每月)

A

10

300

B

400

C

420

单位产品利润(千元)

2.9

解:

设每月生产产品I、II、III的数量分别为x1、x2、x3。

依题意,本问题的线性规划模型为:

(1)利用单纯形法求解如下:

x6

[8]

37.5

0.25

1.25

0.125

25

[2.5]

-4.5

-1.25

345

12.5

7.5

-0.25

-0.85

-0.375

35

1.7

-0.1

-1.8

-0.5

0.4

220

[30]

6

-5

1.4

338/15

-9/100

11/60

-17/300

116/5

-7/50

1/10

3/50

22/3

1/5

-1/6

1/30

-3/100

-4/15

-7/150

即原问题的最优解为(x1,x2,x3,x4,x5)=(338/15,116/5,22/3,0,0)。

目标函数的最优值为:

Z=3×

338/15+2×

116/5+2.9×

22/3=135.27(千元)。

对偶问题的最优解应对应于原问题松弛变量x4,x5,x6的检验数,所以为:

(y1,y2,y3)=(3/100,4/15,7/150)。

(2)

503/15

146/5

-8/3

[-1/6]

153/5

11/10

13/100

-1/50

138/5

3/5

2/25

-6

-6/5

-1/5

-8/5

-7/20

-1/10

这时的最优解为:

(x1,x2,x3,x4,x5)=(153/5,138/5,0,0,16)。

153/5+2×

138/5=147,147-18=129<

135.27(千元);

故这时借用设备B不合算。

(3)假设新增两种新产品IV、V,他们的数量分别为x4/,x5/,它们的技术向量为:

,增加第IV种新产品的生产不会使总利润增加,因此,在经济上是不合算的;

又,在原问题最优单纯形表中增加一列得下表:

x5/

-23/75

14/25

[8/15]

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