数字信号处理答案史林赵树杰科学出版社文档格式.docx

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1.6已知连续时间信号是频率为300Hz、400Hz、1.3KHz和4.3KHz的正弦信号的线性组合。

现以2KHz的采样频率对进行采样。

若恢复滤波器是一截止频率为900Hz的理想低通滤波器，试确定通过恢复滤波器后的输出信号中的各频率分量。

滤波后信号中的频率分量为：

300Hz、400Hz、700Hz。

1.7已知一模拟恢复信号的频谱如题1.7图所示。

对其等间隔T采样所得离散时间信号（序列）为。

（1）当采样间隔时，画出序列的频谱图形。

（2）试确定采样信号频谱不混叠的最低采样频率，并画出此时的频谱图形。

（3）画出由（3）中的序列恢复的框图（可用复理想低通滤波器）。

题1.7图的频谱图形

采样间隔为，因此采样频率为。

第二章作业题答案

2.1将序列表示为及延迟的和。

首先将表示为单位脉冲序列的形式：

对于单位脉冲函数，用单位阶跃序列表示，可得：

将上式带入到的单位脉冲序列表达式中，可得：

2.5判断下列序列中，哪一个是周期序列，如果是周期序列，求出它的周期。

（1）

（2）

（5）

理论分析详见P18性质7）周期序列

题中设计到的是正弦信号，对于正弦信号，分析其周期性，则需判断：

1）为整数，则周期；

2）为有理数，则周期；

3）为无理数则非周期。

观察

（1）、

（2）、（5），依次为：

、、，从而可知

（1）为非周期，

（2）、（5）为周期序列。

（2）中，，因此周期。

（5）中，第一部分周期为，第二部分周期为，因此序列周期为。

2.9试确定下列系统是否为线性时不变系统？

（1）。

（2），m为正整数。

利用线性时不变系统定义、性质分析。

线性分析：

因此为线性系统。

时不变分析：

而系统输入为时，

得：

，因此为时变系统。

综上，为线性时变系统。

2.11试求题2.11图所示线性时不变系统的单位脉冲响应，图中

题2.11图线性时不变系统

如果输入序列，求该系统的输出序列。

此题涉及到了线性时不变系统的输入、输出关系，即：

以及线性卷积的性质：

交换律、结合律、分配律。

系统的输入输出关系可表示为：

将进行变形，尽量表示为单位脉冲序列的形式，以方便运算，则：

此时注意：

，与之卷积实质是序列本身与序列右移一个单位所得新序列的差。

与不宜合并一起然后与求线性卷积，应该分别与求线性卷积，从而：

因此，

2.15设系统的差分方程为

试分析该系统是否为线性、时不变系统。

1、根据条件可知：

2、根据上式判断：

=>

系统为线性系统

时变性分析与2.9

（2）题相同，，为时变系统。

2.18线性时不变系统的差分方程为

若系统是因果的，试用递推法求系统的单位脉冲响应。

令，则得：

因为系统为因果系统，因此：

故：

以此为契机，依次递推可得：

2.19如果线性时不变系统的单位脉冲响应为

求系统的单位阶跃响应。

将用表示，则：

由于系统具有线性时不变性，因此当系统输入为时，根据线性时不变性的性质，系统输出为：

因此输入为单位阶跃序列时，系统的输出为：

第三章作业题答案

作业：

3.2设是序列的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义及性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。

（4）

利用DFT的定义进行求解。

（这是一种错误的解法，正确的如下所示。

）

（注意，此处n为奇数的项为零。

3.3试求以下各序列的离散时间傅里叶变换。

利用DTFT的定义和性质进行求解。

3.4设是一有限长序列，已知

它的离散时间傅里叶变换为。

不具体计算，试直接确定下列表达式的值。

（3）

不计算，解法如下：

令n=0，则：

因此,

3.11证明:

（1）若序列是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换是的实偶函数。

（2）若序列是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换是纯虚数，且是的奇函数。

此题求解需要利用DTFT的性质和

首先，

（1）当为实偶序列时：

根据DTFT的性质，可知：

因此：

因此，为的偶函数。

此外，DTFT性质，

因此，为实函数。

综上，为的实偶函数。

（2）利用同样的性质可以证明若序列是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换是纯虚数，且是的奇函数。

3.16若序列是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换的实部为

求序列及其离散时间傅里叶变换。

此处的条件为：

是因果序列。

因此此题的求解必然使用因果序列的对称性。

注意：

此处并没有提及为实序列，因此，此题需加如条件为实序列。

注意，在常见序列DTFT中，。

根据位移特性，。

因此可得：

3.17若序列是实因果序列，，已知其离散时间傅里叶变换的虚部为

3.21试计算下列各序列的z变换和相应的收敛域，并画出各自相应的零极点分布图。

其中，零点为；

极点为：

，。

以，，为例，则，，。

3.22试计算下列各序列的Z变换及其收敛域。

（7）

此处注意：

左边序列。

Z变换的性质：

3.28已知序列的Z变换为：

（1）试确定所有可能的收敛域；

（2）求

（1）中所有不同收敛域时所对应的序列。

（1）极点有两个：

，

因此收敛域有三种可能：

，，

3.43设两个线性时不变系统的差分方程和初始条件分别为：

若输入序列，分别求两个系统的全响应。

即本章3.5.4的内容。

全响应有稳态相应和暂态相应构成。

由上式可知，求解的单边Z变换，则：

因此，对于有：

（1），在此情况下，有：

令，则è

è

由于输入，因此。

输入，因此。

3.44讨论一个具有下列系统函数的线性时不变因果系统

（1）令系统因果稳定的a值范围是多少？

（2）如果0<

a<

1画出的零极点分布图，并标出收敛域；

（3）在z平面上用图解法证明系统是一个全通系统，及系统的频率响应为以常数。

（1），其中，极点为，零点为。

因果系统其系统函数的极点分布在某个圆内，收敛域是这个圆的外部。

稳定系统的系统函数的收敛域包含单位圆，而收敛域中没有极点。

因果稳定系统的系统函数的所有极点一定分布在单位圆内。

因此，的范围为：

。

（2）以为例，则零极点分布为：

公用，且，因此。

3.45若序列是因果序列，其离散时间傅里叶变换的实部为

T实部对应的偶对称序列

对上式求解的反变换，即，

由于为因果序列，因此为双边序列，收敛域取。

通过留数法求解，则：

，在c内有极点a，则：

，则：

，在c内有极点a、0。

又有，因此：

同时，得到

第四章练习题答案

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

4.3周期序的共轭对称序列和共轭反对称序列分别表示为

试证明