高一数学上册人教新课标A版集合教案.docx

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高一数学上册人教新课标A版集合教案

集合（知识讲解）

一、目标认知

学习目标：

　　1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系．

　　2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法、特征性质描述法和Venn图法）描述不同的具体问

　　　题，感受集合语言的意义和作用．

　　3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合

　　　等．

　　4.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含

　　　义．

　　5.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的

　　　补集的含义，会求给定子集的补集．

重点、难点：

　　1.对集合中元素的三要素的应用；

　　2.运用集合的两种常用表示方法----列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；

　　3.弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；

　　4.集合的交集与并集、补集的概念；

　　5.集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”.

二、知识要点梳理

　　集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.

知识点一：

集合的有关概念

　　1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，

　　　并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.

　　2．一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集.

　　3．关于集合的元素的特征

（1）确定性：

设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，

　　　　　　　两种情况必有一种且只有一种成立.

（2）互异性：

一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不

　　　　　　　应重复出现同一元素.

　　（3）无序性：

集合中的元素的次序无先后之分.如：

由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一

　　　　　　　个集合，它们都表示同一个集合.

　　4．元素与集合的关系：

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作aA

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作

　　5．集合的分类

（1）空集：

不含有任何元素的集合称为空集（emptyset），记作：

.

（2）有限集：

含有有限个元素的集合叫做有限集.

　　（3）无限集：

含有无限个元素的集合叫做无限集.

　　6．常用数集及其表示

　　非负整数集（或自然数集），记作N

　　正整数集，记作N*或N+

　　整数集，记作Z

　　有理数集，记作Q

　　实数集，记作R

知识点二：

集合的表示方法

　　我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.

　　1.列举法：

把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：

{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

　　2.描述法：

把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内.具体方法：

在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

知识点三：

集合之间的关系

1.集合与集合之间的“包含”关系

　　集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；

　　子集：

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）.记作：

，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

　　真子集：

若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集（propersubset）.记作：

AB（或BA）

　　规定：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

2.集合与集合之间的“相等”关系

　　，则A与B中的元素是一样的，因此A=B

　　结论：

任何一个集合是它本身的子集.

知识点四：

集合的运算

1.并集

　　一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：

A∪B读作：

“A并B”，即：

A∪B={x|xA，或xB}

　　Venn图表示：

　　说明：

两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）.

2.交集

　　一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：

A∩B，读作：

“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：

　　说明：

两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合.

3.补集

　　全集：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.

　　补集：

对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset），简称为集合A的补集，记作：

补集的Venn图表示：

　　说明：

补集的概念必须要有全集的限制.

4.集合基本运算的一些结论：

　　若A∩B=A，则，反之也成立

　　若A∪B=B，则，反之也成立

　　若x（A∩B），则xA且xB

　　若x（A∪B），则xA，或xB

　　求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.

三、规律方法指导

　　1.注意和初中数学知识的衔接，这就需要重新整理初中数学知识，形成良好的知识基础，如一元二次方程、二元一次方程组、平面几何中常见的平面图形等．在此基础上，再根据本章特点，较快地吸收新知识，形成新的知识结构．

　　2.认真理解、反复推敲思考本章各知识点的含义及各种表示方法．容易混淆的知识应仔细辨识、区别，达到熟练掌握，逐步建立与集合知识相适应的理论体系与思想方法．

　　3.常用的数学思想方法主要有：

数形结合的思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题；分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论、集合间的包含关系等．逐步培养用集合的思想来分析问题、解决问题的能力．

经典例题透析

类型一：

集合的概念及元素的性质

　　1．下列各组对象中，能构成集合的是（　）

（1）接近于0的数的全体；

（2）比较小的正整数的全体；（3）平面上到坐标点O的距离等于1的点的全体；

　　（4）正三角形的全体；　（5）的近似值的全体.

　　思路点拨：

从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断.

　　解：

“接近于0的数”、“比较小的正整数”对象不确定，所以

（1）、

（2）不是集合，同理（5）也不是集合.（3）、（4）可构成集合，故答案是（3）、（4）.

　　举一反三：

　　【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？

如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集.

（1）申办2008年奥运会的所有城市；

（2）举办2008年奥运会的城市；（3）高一数学课本中的所有难题；

　　（4）在2004年12月26日印度洋地震海啸中遇难的人的全体；　　　（5）大于0且小于1的所有的实数.

　　思路点拨：

紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.

　　解：

（1）申办2008年奥运会的是几个确定的不同的城市，能组成一个集合，且为有限集；

（2）举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；

　　　　（3）不能构成集合.“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难

　　　　　题”无法客观判断.

　　　　（4）在2004年12月26日印度洋地震海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合，

　　　　　是有限集.

　　　　（5）大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合，

　　　　　是无限集.

　　总结升华：

（1）判断一个语句能否确定一个集合，除考虑定义外，还应从集合中元素的“确定性”和“互异性”上来判断；

（2）“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，但不一定是无限集.

　　2．比较下列两个集合的差异：

（1）A={（x，y）|y=x2，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}；

（2）A={x|x2-6x-7=0}B={（x，y）|}.

　　解析：

（1）集合A是一个点集，是函数y=x2图象上的点的集合；集合B是数集，是由所有实数的完全平方构成的集合.两个集合的元素不同.

（2）A={-1，7}，B={（-1，7）}

　　集合A，B都是方程（组）解的集合，但A中有两个元素-1，7，而B中只有一个元素（-1，7）.

类型二：

元素与集合的关系

　　3．用符号“”或“”填空．

（1）0_____N；

（2）-1______N；（3）______Q；（4）_____Z；（5）0______；（6）_____Q.

　　思路点拨：

确定元素是否在集合中，要根据元素是否满足集合的性质来确定.

　　解：

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.

　　举一反三：

　　【变式1】用符号“”或“”填空．

（1）

（2）

　　（3）

　　思路点拨：

给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为，或者，二者必居其一.解答这类问题的关键是：

弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第

（1）题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第

（2）题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第（3）题，要明确各个集合的本质属性.

　　解：

（1）

（2）令，则

　　　　　　令，则

　　　　（3）∵（-1，1）是一个有序实数对，且符合关系y=x2，

　　　　　　∴

　　总结升华：

第

（1）题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第

（2）题关键是明确集合这个“口袋”中是装了些x呢？

还是装了些n呢？

要特别注意描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部分表示x具有的性质.第（3）题要分清两个集合的区别.集合这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合是由抛物线上的所有点构成的，是一个点集.

类型三：

集合中元素性质的应用

　　4．定义，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N-M=（）

　　A.M　　　B.N　　　C.{1，4，5}　　　D.{6}

　　思路点拨：

由的定义可得，在集合N中含有M中的2，3两个元素，而不含有6，故N-M={6}，选D。

　　5．，则M=（）

　　A.{2，3}　　　B.{1，2，3，4}　　　C.{1，2，3，6}　　D.{-1，2，3，4}

　　解析：

集合中的元素满足是整数，且能够使是自然数，所以

　　　　　由aZ，所以-1≤a≤4