考研数学三真题及解析Word格式.docx

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（C）

（D）0.

【答案】

（B）

【考点】导数的概念

【难易度】★★

.

故应选（B）

（3）设

是数列，则下列命题正确的是（）

（A）若

收敛，则

收敛（B）若

收敛

（C）若

收敛（D）若

（A）

【考点】级数的基本性质

由于级数

是级数

经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：

收敛时，

也收敛，故（A）正确.

（4）设

，

，则

的大小关系是（）

（D）

【考点】定积分的基本性质

如图所示，因为

，因此

，故选（B）

（5）设

为3阶矩阵，将

的第二列加到第一列得矩阵

，再交换

的第二行与第三行得单位矩阵，记

=（）

（D）

【考点】矩阵的初等变换

由初等矩阵与初等变换的关系知

所以

，故选（D）

（6）设

为

矩阵，

是非齐次线性方程组

的

个线性无关的解，

为任意常数，则

的通解为（）

（B）

（C）

（C）

【考点】线性方程组解的性质和解的结构；

非齐次线性方程组的通解

的解，因为

线性无关，故

线性无关，

的解，故

的通解为

所以应选（C）.

（7）设

为两个分布函数，其相应的概率密度

是连续函数，则必为概率密度的是（）

（B）

（D）

+

【考点】连续型随机变量概率密度

故选（D）.

（8）设总体X服从参数为

的泊松分布，

为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量

和

，有（）

>

<

【考点】随机变量函数的数学期望；

随机变量的数学期望的性质

由于

是简单随机样本，

且

相互独立，从而

又

二、填空题：

9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）设

.

【考点】重要极限公式

所以有

（10）设函数

.

【考点】多元复合函数的求导法

两边取对数得

由一阶微分形式不变性，两边求微分得

将

代入得

（11）曲线

在点

处的切线方程为.

【考点】隐函数微分法

两边对

求导得

所以在点

处

从而得到曲线在点

处的切线方程为

（12）曲线

，直线

及

轴所围成的平面图形绕

轴旋转所成的旋转体的体积为.

【考点】定积分的应用

（13）设二次型

的秩为1，

中各行元素之和为3，则

在正交变换

下的标准形为.

【考点】用正交变换化二次型为标准形

的各行元素之和为3，即

是

的一个特征值.

又因为二次型

的秩

因此，二次型的标准形为：

（14）设二维随机变量

服从正态分布

=.

【考点】数学期望的性质；

相关系数的性质

因为

，所以

又因为

相互独立.

由期望的性质有

。

三、解答题：

15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

求极限

【考点】无穷小量的比较；

洛必达法则

（16）（本题满分10分）

已知函数

具有连续的二阶偏导数，

的极值，

.求

【考点】多元复合函数的求导法；

二阶偏导数；

多元函数的极值

的极值

（17）（本题满分10分）

求不定积分

【考点】不定积分的基本性质；

不定积分的换元积分法与分部积分法

其中

是任意常数.

（18）（本题满分10分）

证明方程

恰有两个实根.

【考点】闭区间上连续函数的性质；

函数单调性的判别

令

则

单调递减；

单调递增；

是函数

在

上唯一的零点.

由零点定理可知，

，使

方程

（19）（本题满分10分）

设函数

在区间

具有连续导数，

，且满足

，求

的表达式.

【考点】二重积分的计算；

一阶线性微分方程

【难易度】★★★★

求导，得

解齐次方程得

由

，得

.所以函数表达式为

（20）（本题满分11分）

设向量组

不能由向量组

线性表出.

（I）求

的值；

（II）将

用

线性表出.

【考点】向量组的线性相关与线性无关；

矩阵的初等变换

（I）因为

不能由

线性表示，所以

（II）

=

（21）（本题满分11分）

为3阶实对称矩阵，

的秩为2，且

的所有特征值与特征向量;

（II）求矩阵

【考点】矩阵的秩；

矩阵的特征值和特征向量的概念、性质；

实对称矩阵的特征值和特征向量

的特征值，

是对应的特征向量；

是对应的特征向量.

因

知

的特征值.

设

属于特征值

的特征向量，

为实对称矩阵，

所以不同特征值对应的特征向量相互正交，即

解得

故矩阵

的特征值为

；

特征向量依次为

，其中

均是不为0的任意常数.

（II）将

单位化得

（22）（本题满分11分）

设随机变量

的概率分布分别为

X

P

Y

1

（I）求二维随机变量

的概率分布；

（II）求

（III）求

的相关系数

【考点】二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布；

两个随机变量简单函数的分布；

相关系数

即

的概率分布为

XY

-1

（II）

的所有可能取值为-1，0，1.

（Ⅲ）

，故

，从而

（23）（本题满分11分）

设二维随机变量

服从区域

上的均匀分布，其中

是由

所围成的三角形区域.

的概率密度

（II）求条件概率密度

【考点】二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度；

常见二维随机变量的分布

的联合密度为

或

所以