兰州市高三第二次诊断考试文科数学解析教学文稿Word文件下载.docx
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所以，所以，故选
5.盒中装有2个白球和3个黑球，从中任2个，则取出1个白球和1个黑球的概率为（）
从5个球中任取2个不同取法共有种，其中一黑一白的共有种，
所以概率，故选
6.经过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（）
设所求双曲线为，所以，所以，故选
7.定义“等积数列”：
在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数叫做等
积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列是等积数列且，前41项的和为103，则这个
数列的公积为（）
设这个数列的公积为，则该数列为：
8.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，也叫辗转相除法，
可追溯至公元300年前.右面的程序框图的算法思路就是来源于
“欧几里得算法”，用于计算两个整数的最大公约数.执行该
程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的
分别是1764，840，则输出的（）
因为，，所以的最大公约数为，故选.
9.在长方体中，，，则异面直线与所成角的正切值为（）
如图设异面直线与所成角为，
则，故选.
10.已知数列中，，，且，则的值为（）
因为，所以该数列为是周期为6的周期数列，
所以，故选.
11.已知椭圆方程，且成等差数，成等比数列，则此椭圆的离心率为（）
根据题意有且，因为，所以，，所以
所以，椭圆的焦点在轴上，所以，故选
12.定义在上的函数满足：
，且，则不等式的解集为（）
令，则，所以在上单高调递增，
又因为，所以，所以的解集为.
二、填空题，本大题共4小题，每小题为5分，共20分）
13.直线是曲线的一条切线，则实数
因为，所以，所以切点为，所以.
14.若满足约束条件，则的最小值为
如图，当时.
15.已知数列的前和为，则
根据题意，数列是等差数列，且，，所以.
16.鲁班锁是中国传统的知力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫
卯结构.它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右，前
后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.
若正四棱柱的高为8,底面正方形的边长为2,现将该鲁班锁放进
一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为.
（容器壁的厚度忽略不计，结果保留）
设两根正四棱柱组成的长方何的长、宽、高分别为，外接球的半径为
则，所以，所以.
三、解答题：
共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都
必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
共60分.
17.（12分）
已知是的内角，分别是角的对边.若.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
解：
（1）因为，所以，所以
所以，即角的大小为；
（2）因为，，所以，
又因为，所以，所以，
即时，面积的最大，且最大值是.
18.（12分）
在国家“大众创业，万众创新”的战略下，某企业决定加大对某产品的研发投入.为了对新研发的产
品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：
试销价格（元）
4
5
6
7
8
9
产品销量（件）
89
83
82
79
74
67
已知变量具有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得线性回归直线方程分别为：
甲；
乙；
丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
（1）试判断谁的计算结果正确？
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则称该检测数据是“理想数据”，现从
检测数据中随机抽取3个，求“理数数据”的个数为2的概率.
解析：
（1）因为变量具有线性负相关关系，所以甲计算结果错，又因为
所以样本中心点在乙求得的回归直线上，所以乙的计算结果更正确一点.
（2）由
（1）知线性回归方程是，计算预估数据分别为，，，，，
所以误差不超过1的有，，三个，即“理想数据”有三个，
所以从这六个数中任取3个，不同的取法共有（种），
其中含有2个“理想数据”有（种）.所以，
即从检测数据中随机抽取3个，“理数数据”的个数为2的概率是.
19.（12分）
如图所示，三棱锥中，平面平面，平面平面，分别是和
边上的点，且，，，，，，为
的中点.
（1）求证：
平面；
（2）求三棱锥与四棱锥的体积比.
（1）证明：
在中，
因为，，
所以，，
在中，因为，，，
所以，所以，所以，
又因为为的中点，，所以是等边三角形，
所以，所以，所以，所以，
又因为，，所以
（2）因为平面平面，平面平面，所以，
所以，
，
又因为，所以
所以，
所以三棱锥与四棱锥的体积比为
20.（12分）
设抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）若关于轴的对称点为，求证：
直线恒过定点，并求出该点的坐标.
（1）设直线的方程为，，则
将代入得，所以
所以，又因为，所以，所以抛物线的方程是；
（2）根据题意有，所以方程为，又因为
所以
又因为，所以，
所以，又因为，
所以，所以直线过定点，又因为，
所以直线恒过定点，并且该点的坐标为（.
21.（12分）
若函数，当时，函数有极值.
（1）求函数的解析式；
（2）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围.
解：
（1）因为，所以，又因为当时，函数有极值，
所以且，即，所以，所以，
所以函数的解析式是；
（2）因为
所以在和上递增，在上递减，
又因为方程有3个不同的根，所以，即实数的取值范围是.
（二）选考题：
共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题纸上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；
多答按所答第一题评分.
22.[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）已知曲线的极坐标方程为，，，点是曲线与交点，点是曲线
与的交点，且，均异于原点，且，求实数的值.
（1）因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，即，
所以曲线的普通方程是，的直角坐标方程是；
（2）因为的普通方程是，所以的极坐标方程为，
所以当时，，，所以
所以，又因为，所以，所以，
所以，即实数的值为.
23.[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围.
（1）当时，，所以，即，
所以或或
所以或，即不等式的解集是
（2）因为不等式的解集为实数集，所以对，恒成立，
令，则，所以
所以，即实数的取值范围是
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