最新圆的基本性质 知识点整理Word格式文档下载.docx

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（1）经过一个已知点能作个圆；

（2）经过两个已知点A,B能作个圆；

过点A,B任意作一个圆,圆心应该在怎样的一条直线上？

（3）不在同一条直线上的三个点一个圆

经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆的；

三角形的外心是的交点。

锐角三角形的外心在；

直角三角形的外心在；

钝角三角形的外心在。

作图：

已知△ABC，用直尺和圆规作出△ABC的外接圆

3.2图形的旋转

图形旋转的性质

图形经过旋转所得的图形和原图形；

对应点到的距离相等，任何一对对应点与连线所成的角度等于。

3.3垂径定理

（1）

圆是图形，它的对称轴是。

如图，直径CD垂直于弦AB，根据对称性你能发现哪些相等的量？

填一填：

∵CD是直径，CD⊥AB

∴

（文字描述）垂径定理：

。

如图，圆心O到圆的一条弦AB的距离OC叫做。

记半径为r，弦长为a，弦心距为d，这三者之间的关系式为。

运用“半径、半弦、弦心距”之间的关系求解下列题目

1、⊙O的弦AB的长为8cm,弦AB的弦心距为3cm,则⊙O的半径为（）

（A）4cm.（B）5cm.

（C）8cm.（D）10cm.

2、已知⊙O的半径为13cm,一条弦的弦心距为5cm.求这条弦的长

3、如图所示，为一条排水管的截面图，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB为16，求截面圆圆心O到水面的距离OC

3.3垂径定理

（2）

（文字描述）垂径定理的逆定理1：

。

（符号描述）∵CD是直径，AP=BP

∴

（文字描述）垂径定理的逆定理2：

。

（符号描述）∵CD是直径，＝

如图所示，圆弧AB的中点C到弦AB的距离PC叫做。

弓高h、半径r和弦心距d之间的关系是。

垂径定理综合运用

1、如图,一圆弧形钢梁的拱高为8m,跨径为40m.求这钢梁圆弧的半径长.

2、已知:

如图,⊙O的直径PQ分别交弦AB,CD于点M,N,AM＝BM,AB∥CD.求证:

DN＝CN.

3、如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE＝3cm,DE＝7cm.求AB的长.

4、已知O的半径为5cm,弦AB∥CD,AB＝6cm,CD＝8cm.求AB与CD之间的距离.

3.4圆心角

（1）

顶点在圆心的角叫做。

圆心角定理：

在中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等。

在中，相等的圆心角所对两条弦的相等

符号语言

在⊙O中：

∵∠AOB=∠COD

∴（弦相等）

（弧相等）

（弦心距相等）

我们把n°

的圆心角所对的弧叫做的弧

练一练：

1、下列命题中，不正确的是（）

A、圆是轴对称图形

B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

C、圆是轴对称图形，但不是中心对称图形

D、圆是中心对称图形

2、如图，AB，CD是的直径，若∠AOC=70°

，则的度数是，的度数是，的度数是。

3、已知：

如图，∠1＝∠2.求证：

＝.

4、如图，的直径AB垂直于弦CD于点E，∠COD＝100°

.求，的度数.

3.4圆心角

（2）

圆心角定理的逆定理：

在中，如果两个、、、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量。

1、如图，等边三角形ABC内接于，连结OA，OB，OC，延长AO，分别交BC于点P，交于点D，连结BD，CD，

1判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并给出证明。

四边形BDCO是，证明如下：

∵AB=BC=CA

∴∠AOB===120°

∴∠BOD=

又∵

∴△BOD是三角形

同理，△COD是

∴记四边形BDCO是

2若的半径为r，求等边三角形ABC的边长

2、已知，如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的分别交AC，BC于点D，E，求证：

==.

3、下列说法正确的是

1圆心角相等，所对的弦相等；

2等弧所对的弦相等

3弦相等，所对的圆心角相等

4在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等

3.5圆周角

（1）

顶点在，角的两边都和圆的角叫做圆周角

圆周角定理：

圆周角的度数等于它所对的弧上的度数的一半。

已知一条弧所对的圆周角等于70°

，则这条弧所对的圆心角是°

。

一条50°

的弧所对的圆心角是°

，圆周角是°

一条弧所对的圆心角的度数为95°

，则这条弧是°

，它所对的圆周角是°

一条弧的度数是180°

，则它所对的圆心角是°

，

圆周角是°

推论：

半圆（或）所对的圆周角是。

如图所示，∠C=90°

，则∠AOB=，AB是⊙O的。

90°

的圆周角所对的弦是。

练习：

如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC为40°

，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，求BD，DE和AE的度数。

变式1：

已知，如图，AB为圆O的直径，AB=AC，BC交圆O于点D，AC交圆O于点E，求证：

BD=CD

变式2：

如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°

则圆周角∠ACB的度数是（）

A.80°

B.100°

C.120°

D.130°

3.5圆周角

（2）

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的相等，的圆周角所对的弧也相等。

基本图形：

如图所示：

∵BC=BC

∴∠=∠

1.如图,内接于圆,,的度数为.求,的度数.

2.已知：

如图,是的直径,弦与半径平行.求证：

综合练习：

已知半径为5的中，弦，弦，则的度数是（）

A．B．C．或D．或

如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠ABC=30°

过圆心O作

OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB=°

．　

已知，如图：

AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。

给出以下五个结论：

①∠EBC＝22.50，；

②BD＝DC；

③AE＝2EC；

④劣弧是劣弧的2倍；

⑤AE＝BC。

其中正确结论的序号是。

3.6圆内接四边形

如果一个四边形的各个顶点在，那么这个四边形叫做，这个圆叫做。

性质：

圆内接四边形的对角。

圆内接四边形的外角等于它的。

已知圆内接四边形有一个内角是50°

则它的对角的度数为°

.

如图,AB是半圆O的直径,∠BAC＝40°

则∠D=.

已知圆内接四边形ABCD中,∠A:

∠B:

∠C＝2:

3:

7.求∠D的大小.

已知，如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，求证：

DB=DC

分析：

要证明DB=DC，只需证明∠=∠

证明：

3.7正多边形

我们把、的多边形叫做正多边形；

任何正多边形都有一个。

计算：

已知一个正多边形的内角为120°

，这个正多边形是。

已知一个正多边形的外角为45°

正五边形的内角等于°

选择：

下列图形中，是中心对称图形的是，是轴对称图形的是

①②③④

用直尺和圆规做圆的内接正六边形

3.8弧长及扇形的面积

（1）

在半径为R的圆中，n°

的圆心角所对的弧长的计算公式为：

公式变形：

半径R=圆心角的度数n=

公式运用：

（1）半径为3的圆弧的度数为100°

，则这条弧长为；

（2）半径为5的圆弧长为5π，则这条弧所对的圆心角的度数为；

（3）已知圆弧的度数为60°

，弧长为6π，则圆的半径为。

3.8弧长及扇形的面积

（2）

如果扇形的半径为R，圆心角为n°

，扇形的弧长为，

那么扇形面积S==

公式运用

1、已知圆的半径为6cm，求下列各扇形的面积

（1）圆心角为135°

的扇形

（2）弧长为4π的扇形

2、已知一个扇形的面积为12πcm2，圆心角为216°

，求它的弧长。

练一练

1.如图,水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm,截面中有水部分弓形的高为6cm.求截面中有水部分弓形的面积.

2.如图为某水管截面中水面面积示意图，其中水管的直径为2.5米，∠AOB=45°

，求截面中有水部分的面积.

3.如图所示，折扇的骨柄长a=16cm，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120°

，求折扇扇面的面积.