河南省师范大学附属中学届高三开学考试数学理.docx

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河南省师范大学附属中学届高三开学考试数学理

数学（理）答案

一选择题CAABADDADAAD

二填空题13.14.15.6216.

三解答题

17

18．

【解】（Ⅰ）由题意，得，解得；…………1分

又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克），……2分

而个样本小球重量的平均值为：

（克）

故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克；…………………………4分

（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，………………5分

则.的可能取值为、、、，……………………………………6分

，，

，.……………10分

的分布列为：

.

（或者）………………12分

19．解：

（1）∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D，

∴平面A1ACC1⊥平面ABC，

∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

∴BC⊥平面A1ACC1，

∴BC⊥AC1，

∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B，

∴AC1⊥平面A1BC。

（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，

∵AC1⊥平面A1BC，

∴AC1⊥A1C，

∴四边形A1ACC1是菱形，

∵D是AC的中点，

∴∠A1AD=60°，

∴A（2，0，0），A1（1，0，），B（0，2，0），C1（-1，0，），

∴=（1，0，），=（-2，2，0），

设平面A1AB的法向量=（x，y，z），

∴，

令z=1，

∴=（，，1），

∵=（2，0，0），

∴，

∴C1到平面A1AB的距离是。

（3）平面A1AB的法向量=（，，1），平面A1BC的法向量=（-3，0，），

∴，

设二面角A-A1B-C的平面角为θ，θ为锐角，

∴，

∴二面角A-A1B-C的余弦值为。

20．I）解：

∵直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，，

设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．

∴，．

∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p，

∴．∴，得x1x2=4．

由，化为，

其中△=（k2p+2p）2﹣k2p2k2＞0

∴x1+x2=，x1x2=．

∴p=4，抛物线C：

y2=8x．

（Ⅱ）证明：

设M（x0，y0），P（x3，y3），∵M为线段AB的中点，

∴，．

∴直线OD的斜率为．

直线OD的方程为代入抛物线C：

y2=8x的方程，

得．∴．

∵k2＞0，∴

21.解：

（1）当时：

，（）

故

当时：

，当时：

，当时：

．

故的减区间为：

，增区间为……2分

（2）

令，故,,…3分

显然，又当时：

．当时：

．

故，，．

故在区间上单调递增，……4分

注意到：

当时，，故在上的零点个数由的符号决定．……5分

①当，即：

或时：

在区间上无零点，即无极值点．

②当，即：

时：

在区间上有唯一零点，即有唯一极值点．

综上：

当或时：

在上无极值点．

当时：

在上有唯一极值点．……7分

（3）假设存在，使得在区间上与轴相切，则必与轴相切于极值点处，

由

（2）可知：

．不妨设极值点为，则有：

…（*）同时成立．……8分

联立得：

，即代入（*）可得．

令，．……9分

则，，当时

（2）．

故在上单调递减．又，．

故在上存在唯一零点．

即当时，单调递增．当时，单调递减．

因为，．

故在上无零点，在上有唯一零点．……11分

由观察易得，故，即：

．

综上可得：

存在唯一的使得在区间上与轴相切．……12分

请考上在第22、23三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．解：

（I）由解得点的直角坐标为因此点的极坐标为

（II）设直线的参数方程为为参数），代入曲线的直角坐标方程并整理得设点对应的参数分别为则

当时，，有最小值

23.

（1）当时,.由可得,

或或,解得或

即函数的定义域为

（2）依题可知恒成立,即恒成立,

而当且仅当即时取等号,所以