新教材人教B版数学必修第一册学案第3章32第2课时零点的存在性及其近似值的求法含答案Word下载.docx
《新教材人教B版数学必修第一册学案第3章32第2课时零点的存在性及其近似值的求法含答案Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材人教B版数学必修第一册学案第3章32第2课时零点的存在性及其近似值的求法含答案Word下载.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（ ）
（4）函数y＝2x－1的零点是.（ ）
[答案]
（1）×
（2）×
（3）√ （4）×
2.下列图像表示的函数中没有零点的是（ ）
A B C D
A [B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．]
知识点二 求函数零点的近似值的一种计算方法——二分法
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·
f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法．
（1）二分法只能求函数的变号零点（函数图像通过零点时穿过x轴，这样的零点为变号零点）的近似值．
（2）二分法的解题原理是函数零点存在定理，它是一种求近似解的具体方法，是考查“极端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现．
2．用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f（x）在[a，b]上的零点近似值的步骤是：
第一步 检查|b－a|≤2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；
如果不成立，转到第二步．
第二步 计算区间（a，b）的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；
若f≠0，转到第三步．
第三步 若f（a）f＜0，将的值赋给b，回到第一步；
否则必有ff（b）＜0，将的值赋给a，回到第一步．
3.下列函数不宜用二分法求零点的是（ ）
A．f（x）＝x3－1 B．f（x）＝2x3＋x－5
C．f（x）＝x2＋2x＋2D．f（x）＝－x2＋4x－1
C [因为f（x）＝x2＋2x＋2＝（x＋）2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．]
4.用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是（ ）
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]
5.若函数f（x）在[a，b]上的图像为一条连续不断的曲线，且同时满足f（a）·
f（b）<
0，f（a）·
f>
0，则（ ）
A．f（x）在上有零点B．f（x）在上有零点
C．f（x）在上无零点D．f（x）在上无零点
B [由f（a）·
0，可知f·
0，根据零点的存在性定理，可知f（x）在上有零点．故选B．]
类型1 判断函数零点个数或所在区间
【例1】
（1）已知函数y＝f（x）的图像是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
123.56
21.45
－7.82
11.45
－53.76
－128.88
则下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）在区间[1,6]上有3个零点
B．函数y＝f（x）在区间[1,6]上至少有3个零点
C．函数y＝f（x）在区间[1,6]上至多有3个零点
D．函数y＝f（x）在区间[1,2]上无零点
（2）函数f（x）＝x3＋x－5的零点所在区间为（ ）
A．（0,1）B．（1,2）
C．（2,3）D．（3,4）
（1）B
（2）B [
（1）由表可知，f
（2）·
f（3）<
0，f（3）·
f（4）<
0，f（4）·
f（5）<
0.由函数零点存在定理知，函数y＝f（x）在区间（2,3），（3,4），（4,5）上分别至少存在一个零点，所以函数y＝f（x）在区间[1,6]上的零点至少有3个．虽然f
（1）·
f
（2）>
0，但函数y＝f（x）在[1,2]上也有可能存在一个或多个零点．
（2）由函数f（x）＝x3＋x－5可得f
（1）＝1＋1－5＝－3<
0，f
（2）＝8＋2－5＝5>
0，
故有f
（1）f
（2）<
根据函数零点存在定理可得，函数f（x）的零点所在区间为（1,2），故选B．]
判断函数零点所在区间有哪3个步骤？
[提示]
（1）代入：
将区间端点值代入函数求出相应的函数值．
（2）判断：
把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
（3）结论：
若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
1．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若f（a）f（b）＞0，则不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
B．若f（a）f（b）＜0，则存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
C．若f（a）f（b）＞0，则有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
D．若f（a）f（b）＜0，则有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
C [对于A选项，可能存在，如y＝x2；
对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．]
类型2 对二分法概念的理解
【例2】 下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（ ）
B [利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．]
二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性.对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：
不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可.
2．如图是函数f（x）的图像，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f（x）的零点近似值的是（ ）
A．（－2.1，－1） B．（1.9,2.3）
C．（4.1,5）D．（5,6.1）
B [只有B中的区间所含零点是不变号零点．]
类型3 用二分法求函数零点的近似值
【例3】 求函数f（x）＝x2－5的负零点．（精确度为0.1）
[解] 由于f（－2）＝－1<
0，f（－3）＝4>
故取区间（－3，－2）作为计算的初始区间，
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
（－3，－2）
－2.5
1.25
（－2.5，－2）
－2.25
0.0625
（－2.25，－2）
－2.125
－0.4844
（－2.25，－2.125）
－2.1875
－0.2148
（－2.25，－2.1875）
－2.21875
－0.0771
由于|－2.25－（－2.1875）|＝0.0625<
0.1，
所以函数的一个近似负零点可取－2.25.
利用二分法求函数零点应关注3点
（1）要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．
（2）用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．
（3）根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．
3．证明函数f（x）＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点（精确度为0.1）．
[解] 由于f
（1）＝－1<
0，f
（2）＝4>
0，又函数f（x）在[1,2]内是增函数，所以函数在区间[1,2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1,2]．下面用二分法求解．
（a，b）
（a，b）的中点
f（a）
f（b）
f
（1,2）
1.5
f
（1）<
f（1.5）>
（1,1.5）
f（1.25）>
（1,1.25）
1.125
f（1.125）<
（1.125,1.25）
1.1875
f（1.1875）<
因为|1.1875－1.25|＝0.0625<
0.1，所以函数f（x）＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.
类型4 一元二次方程根的分布问题
【例4】 已知关于x的方程7x2－（m＋13）x－m－2＝0的一个根在区间（0,1）内，另一个根在区间（1,2）内，则实数m的取值范围为（ ）
A．（－4，－2）B．（－3，－2）
C．（－4,0）D．（－3,1）
[思路点拨] →→
A [设函数f（x）＝7x2－（m＋13）x－m－2，则由题意可画出函数f（x）的草图如图所示，由图可得
解得－4＜m＜－2.
故实数m的取值范围为（－4，－2）．]
解一元二次方程根的分布问题一般从4个方面考虑
（1）抛物线开口方向．
（2）一元二次方程根的判别式．
（3）对应区间端点函数值的符号．
（4）抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．
4．关于x的一元二次方程x2＋（m－1）x＋1＝0在区间[0,2]上有实数解，求实数m的取值范围．
[解] 设f（x）＝x2＋（m－1）x＋1，x∈[0,2]，
①若f（x）＝0在区间[0,2]上有一个实数解，
∵f（0）＝1＞0，∴f
（2）＜0或
又f
（2）＝22＋（m－1）×
2＋1，∴m＜－.
②若f（x）＝0在区间[0,2]上有两个实数解，
则即
∴∴－≤m≤－1．
综上，实数m的取值范围为{m|m≤－1}.
1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3,5]上（ ）
A．没有零点 B．有一个零点
C．有两个零点D．有无数个零点
B [令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3,5]上有一个零点．故选B．]
2．下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A B
C D
D [由函数图像可得，D中的函数没有零点，故不能用二分法求零点；
A，B，C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点．]
3．已知函数f（x）＝3a
升级会员 