浙教八下数学知识点Word文档格式.docx

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若,则a=0,b=0。

知识点四:

二次根式()的性质

()

文字语言叙述为:

一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用:

若,则,如:

,.

知识点五:

二次根式的性质

一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即;

若a是负数,则等于a的相反数-a,即;

2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;

3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六:

与的异同点

1、不同点:

与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;

在中,而中a可以是正实数,0,负实数。

但与都是非负数,即,。

因而它的运算的结果是有差别的, 

,而

2、相同点:

当被开方数都是非负数,即时,=;

时,无意义,而.

知识点七:

最简二次根式:

必须同时满足下列条件:

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式;

⑵被开方数中不含分母;

⑶分母中不含根式。

满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式。

知识点八:

同类二次根式:

化成最简二次根式后,被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式。

知识点九:

二次根式的运算:

(1)因式的外移和内移:

如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;

如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.

(2)二次根式的加减法:

需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。

注意:

对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数.

(3)二次根式的乘除法:

二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.

二次根式的乘法:

二次根式的除法:

乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式.

强调:

二次根式具有双重非负性。

(4)二次根式的混合运算:

先乘方(或开方),再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的;

能利用运算律或乘法公式进行运算的,可适当改变运算顺序进行简便运算.

进行根式运算时,要正确运用运算法则和乘法公式,分析题目特点,掌握方法与技巧,以便使运算过程简便.二次根式运算结果应尽可能化简.另外,根式的分数必须写成假分数或真分数,不能写成带分数.例如不能写成.

(5)有理化因式:

一般常见的互为有理化因式有如下几类:

①与;

②与;

③与;

④与.

说明:

利用有理化因式的特点可以将分母有理化.

(6)分母有理化:

分母有理化也称为有理化分母。

就是将分母含有根号的代数式变成分母不含根号的代数式,这个过程叫做分母有理化。

(1)形如:

(2)形如:

7.关于具有双重根号的二次根式。

如:

二.重点和难点:

重点:

二次根式的运算。

难点:

1.混合运算以及应用。

2.二次根式的内移和外移。

3.二次根式的大小比较。

【难点指导】

1、如果是二次根式,则一定有;

当时,必有;

2、当时,表示的算术平方根,因此有;

反过来,也可以将一个非负数写成的形式;

3、表示的算术平方根,因此有,可以是任意实数;

4、区别和的不同:

中的可以取任意实数,中的只能是一个非负数,否则无意义.

5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径:

(1)因式的内移:

因式内移时,若,则将负号留在根号外.即:

(2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即:

6、二次根式的比较:

(1)若,则有;

(2)若,则有.

说明:

一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小.

考点题型:

1.分式概念(选择、填空)(3-4分)

2.利用分式性质进行约分、通分(选择、填空)(8—10分)

3.分式的运算(选择、填空、解答)

4.分式的化简、求值(选择、填空、解答)(3-10分)

5.二次根式的概念和性质(选择、填空)(4分)

6.二次根式的化简与求值(选择、填空、解答)(3-8分)

第二章一元二次方程(蒲玲爱老师整理)

一、教材内容

1.本单元教学的主要内容.

一元二次方程概念;

解一元二次方程的方法;

一元二次方程应用题.

2.本单元在教材中的地位与作用.

一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的,它也是一种数学建模的方法.学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的,是学好高中数学的奠基工程.应该说,一元二次方程是本书的重点内容.

二、教学重点

1.一元二次方程及其它有关的概念.

2.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程.

3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.

三、教学难点

1.一元二次方程配方法、十字相乘法解题.

2.用公式法解一元二次方程时的讨论.

3.建立一元二次方程实际问题的数学模型;

方程解与实际问题解的区别.

四、教学关键

1.分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型.

2.用配方法解一元二次方程的步骤.

3.解一元二次方程公式法的推导.

五、知识点:

1.定义:

形如的方程叫做一元二次方程,其中,a叫做二次项系数,bx叫做一次项,b叫做一次项系数,c叫做常数项。

例:

若方程是关于x的一元二次方程,则()

A.B.m=2C.m=—2D.

2.一元二次方程的解法:

(1)直接开平方法;

(2)因式分解分(提公因式法、乘法公式法、十字相乘法);

(3)配方法;

(4)求根公式法;

(5)换元法。

按要求解方程

(1)用配方法解方程:

x2—4x+1=0

(2)用公式法解方程:

3x2+5(2x+1)=0

3.一元二次方程根的判别式:

△=.

△>

0,方程有两个不相等的实数根;

△=0,方程有两个相等的实数根;

△<

0,方程无实数根。

例1.如果关于x的方程ax2+x–1=0有实数根,则a的取值范围是()

A.a>–B.a≥–C.a≥–且a≠0D.a>–且a≠0

例2.若t是一元二次方程的根,则判别式和完全平方式的关系是()

A.△=MB.△>

MC.△<

MD.大小关系不能确定

4.韦达定理:

例1:

(8分)设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根,当m为何值

时,x12+x22有最小值?

并求这个最小值。

例2:

若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0,则此三角形的周长为_______

5.可化为一元二次方程的分式方程。

(分式方程要验根)

6、一元二次方程应用题(最大值、最小值问题)

.某商店如果将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售,每天可销售100件。

为了增加利润,该商店决定提高售价,但该商品单价每提高1元,销售量要减少10件。

问当售价定为多少时,才能使每天的利润最大?

并求最大利润。

7、一元二次方程和二次函数之间的关系

例1.当m为何值时,抛物线与x轴有两个交点,有一个交点,无交点。

例2.已知二次函数与x轴有两个交点,求m的取值范围。

8、一元二次方程应用题

例1..如图,AO=OB=50cm,OC是一条射线,OC⊥AB,一只蚂蚁由A以2cm/s速度向B爬行,同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行,几秒钟后,两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2?

六、易错点分析:

易错点一:

(概念)

1)判断方程是否为一元二次方程时,忽略二次项系数不为“0”.

如:

下列关于x的方程中,是一元二次方程的有--------

①ax2+bx+c=0②x2+3/x-5=0

③2x2-x-3=0④x2-2+x3=0

2)注意本单元在学习概念时,注意联系实际,加深对概念的理解与应用,避免就概念理解概念。

已知关于x的方程(m-n)x2+mx+n=0,(m≠0),你认为:

①当m和n满足什么关系时,该方程为一元二次方程?

②当m和n满足什么关系时,该方程为一元一次方程?

3)没有化成一般形式,混淆a、b、c.

易错点二:

(解法)

(1)因式分解法没注意方程没有写成A*B=0形式。

如,解方程(x-1)(x-3)=8,误解为x1=1,x2=3.

(2)用公式法解方程时,没有化为一般式,造成符号错误或混淆a、b、c。

如,解方程x2-4x=2,误认为a=1,b=—4,c=2.

(3)丢根。

如,解方程3(x+2)=x2+2x,两边同时除以(x+2),得x=3.

易错点三(一元二次方程应用题)

①审题不清,误解题意,不能正确地找出等量关系;

②解方程后未经检验就盲目作答。

③检查方程两根是否符合实际意义,尤其当两根都是正数的情况。

如教材P114:

探究3问题中,方程两根都是正数,但他们并不都适合问题的解。

必须根据它们的值的大小来确定哪个合乎实际。

这种取舍更多的要考虑问题的实际意义,教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力。

第三章频数及其分布(徐旺红老师整理)

3、1频数与频率

教学目标:

1、理解频数的概念,会求频数

2、了解极差的概念、会计算极差。

3、了解极差、组距、组数之间的关系,会将数据分组。

4、会列频数分布表。

2、理解样本容量、频数、频率之间的相互关系。

会计算频率。

3、了解频数、频率的一些简单实际应用。

4、通过收集、分析数据的过程,初步作出合理的决策,提高学生处理问题、决策问题的能力。

教学重点:

本节教学的重点是频数的概念。

教学难点:

将数据分组过程比较复杂,往往要考虑多方面的因素,是本节教学的一个难点。

1、频率的概念:

一般地,每一组频数与数据总数(或实验总次数)的比,叫做这一组数据(或事件)的频率。

由此可知:

(1)

(2)频数=频率×

数据总数

(3)

3、2频数分布直方图

教学目标

1、了解频数分布直方图的概念

2、会读频数分布直方图。

3、会画频数分布直方图。

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