人教版数学必修一初等函数难题Word下载.docx

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3．（2014•天津二模）设a＞b＞0，a+b=1且x=（）b，y=loga，z=a，则x，y，z的大小关系是（　　）

y＜x＜z

z＜y＜x

y＜z＜x

x＜y＜z

4．（2010•广州模拟）若2＜x＜3，，Q=log2x，，则P，Q，R的大小关系是（　　）

Q＜P＜R

Q＜R＜P

P＜R＜Q

P＜Q＜R

9．已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（a＞1），若x∈[0，1），t∈[4，6）时，F（x）=g（x）﹣f（x）有最小值是4，则a的最小值为（　　）

10

2

3

4

10．（2013•自贡一模）已知对数函数f（x）=logax是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（　　）

二、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）

11．已知函数f（x）=，a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1．

（1）判断函数f（x）的单调性；

（2）当a≠b时，利用

（1）中的结论，证明不等式：

．

12．已知函数f（x）=2x+|x|．

（1）解不等式：

≤f（x）≤；

（2）若关于x的方程f（2x）+af（x）+4=0在（0，+∞）上有解，求实数a的取值范围．

13．设f（x）=（）x﹣3x，解关于x的不等式f（）+f（x）≤0．

14．已知α，β满足等式，试求α+β的值．

15．如果函数f（x）=ax（ax﹣3a2﹣1）（a＞0且a≠0）在区间[0，+∞）单调递增，那么实数a的取值范围是什么？

16．（2007•浦东新区二模）记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素．

（1）判断函数f（x）=﹣x+1，g（x）=2x﹣1是否是M的元素；

（2）设函数f（x）=loga（1﹣ax），求f（x）的反函数f﹣1（x），并判断f（x）是否是M的元素；

（3）若f（x）≠x，写出f（x）∈M的条件，并写出两个不同于

（1）、

（2）中的函数．

17．（2010•徐州一模）设P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函数图象上的两点，且，点P的横坐标为．

（1）求证：

P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

（2）若，求Sn；

（3）记Tn为数列的前n项和，若对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围．

①；

②

18．（2011•哈尔滨模拟）已知f（x）=ae﹣x+cosx﹣x（0＜x＜1）

（1）若对任意的x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；

（2）求证：

19．（2009•金山区一模）已知函数f（x）=loga在定义域D上是奇函数，（其中a＞0且a≠1）．

（1）求出m的值，并求出定义域D；

（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；

（3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），求a及r的值．

20．（2004•宝山区一模）已知f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．

（1）求k的值；

（2）证明：

对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线最多只有一个交点；

（3）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

【考点训练】基本初等函数I-1

参考答案与试题解析

考点：

对数的运算性质．菁优网版权所有

专题：

函数的性质及应用．

分析：

函数f（x）=有唯一不动点⇔有唯一实数根，化为ax2+（2a﹣1）x=0，由于a≠0，可得△=0，解得a=．f（x）=．由于x1=2，xn+1=，可得，再利用等比数列的通项公式与对数的运算性质即可得出．

解答：

解：

函数f（x）=有唯一不动点，∴有唯一实数根，

化为ax2+（2a﹣1）x=0，∵a≠0，∴△=（2a﹣1）2﹣0=0，解得a=．

∴f（x）=．

∵且x1=2，xn+1=，

∴xn+1==，

∴，

∴数列{xn﹣1}是等比数列，

∴．

∴（x2014﹣1）==2013．

故选：

点评：

本题考查了新定义“不动点”、等比数列的通项公式与对数的运算性质，考查了等价转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

综合题．

由a，b为正实数，，知a+b，由（a﹣b）2=4（ab）3，知（a+b）2=4ab+（a﹣b）2=4ab+4（ab）3≥4=8（ab）2，故，所以a+b=2ab，由此能够求出logab．

∵a，b为正实数，，

∴a+b，

∵（a+b）2=4ab+（a﹣b）2=4ab+4（ab）3≥4=8（ab）2，

∴，①

故a+b=2ab，②

由①中等号成立的条件知ab=1，

与②联立，解得，或．

∴logab=﹣1．

故选B．

本题考要对数性质的综合应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值不等式的灵活运用．

对数值大小的比较．菁优网版权所有

利用对数函数和指数函数的单调性即可得出．

∵a＞b＞0，a+b=1，∴，

∴y=loga＜z=a，即y＜z．

∵a＞b＞0，a+b=1，

∴，，0＜b＜a＜1．

∴z=a=0，=1．

∴x＞z．

∴y＜z＜x．

本题考查了对数函数和指数函数的单调性，属于难题．

对数值大小的比较；

指数函数的定义、解析式、定义域和值域．菁优网版权所有

计算题；

利用指数函数与对数函数及幂函数的性质可得到＜P＜，Q＞1，R＞，再构造函数x=22t，通过分析y=2t和y=2t的图象与性质，得到结论．

P=在x∈（2，3）上单调递减，＜P＜；

Q=log2x在x∈（2，3）上单调递增Q＞1；

R=在x∈（2，3）上单调递增，R＞，显然需要比较的是Q，R的大小关系．

令x=22t，这是一个单调递增函数，显然在x∈（2，3）上x与t一一对应，

则1＜Q=log2x=2t，R=2t＜，

∴＜t＜log23＜•log24=1，在坐标系中做出y=2t和y=2t的图象，两曲线分别相交在t=1和t=2处，

可见，在t＜1范围内y=2t小于y=2t，

在1＜t＜2范围内y=2t大于y=2t，

在t＞2范围内y=2t小于y=2t，

∵＜t＜1，∴2t＜2t，即R＞Q；

∴当2＜x＜3时，R＞Q＞P．

故选D．

本题考查对数值大小的比较，难点在于Q，R的大小比较，考查构造函数，通过指数函数与一次函数的图象与性质分析解决问题，考查学生综合分析与解决问题的能力，属于难题．

5．设a，b，x∈N*，a≤b，已知关于x的不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，当ab取最大可能值时，=（　　）

6

由不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga可得，利用对数函数的单调性可得，

由于a，b，x∈N*，关于x的不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，可得，化为．由于a≤b．可得ab≥51+1，再利用基本不等式即可得出．

由不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga可得，

∵a，b，x∈N*，关于x的不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，

∴52＞，∵a，b，x∈N*，a≤b．

∴（a=1时不成立），∴．

令g（a）=，∵a≥2，可知g（a）单调递减．

当a=2时，，取ab=68时，b=34．取ab=69，b不是整数，舍去．

因此ab的最大值为68．

∴当ab取最大可能值时，=6．

本题考查了集合的意义、基本不等式的性质，考查了推理能力，属于难题．

6．函数f（x）的定义域为D，满足：

①f（x）在D内是单调函数；

②存在[]⊆D，使得f（x）在[]上的值域为[a，b]，那么就称函数y=f（x）为“优美函数”，若函数f（x）=logc（cx﹣t）（c＞0，c≠1）是“优美函数”，则t的取值范围为（　　）

（0，1）

（0，）

（﹣∞，）

对数函数的图像与性质．菁优网版权所有

根据复合函数的单调性，先判断函数f（x）的单调性，然后根据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论．

若c＞1，则函数y=cx﹣t为增函数，y=logcx，为增函数，∴函数f（x）=logc（cx﹣t）为增函数，

若0＜c＜1，则函数y=cx﹣t为减函数，y=logcx，为减函数，∴函数f（x）=logc（cx﹣t）为增函数，

综上：

函数f（x）=logc（cx﹣t）为增函数，

若函数f（x）=logc（cx﹣t）（c＞0，c≠1）是“优美函