A3沪科版九年级数学上相似三角形典型例题及练习Word文件下载.docx

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（2）数学表达式：

∽

3.相似三角形的判定定理

（1）判定定理1：

AA

文字语言

数学语言

图形

如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（简记为：

两角分别相等的两个三角形相似。

）

∽

（2）判定定理2：

SAS

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

（3）判定定理3：

SSS

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

三边成比例的两个三角形相似。

（4）判定定理4：

HL

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的基本类型

相似三角形

的基本类型

字型

双垂直型

一线三等角型

一线三等角型是以等腰三角形或者等边三角形为背景，三个等角的顶点在同一直线上，其中，可根据，得图中两个阴影部分三角形相似。

一线三垂直型

5.相似三角形判定思路

判定思路

有平行截线

①平行线截三角形相似的定理

②用平行线的性质，找等角

有一组等角

①找另一对等角

②找该角的两边对应成比例

直角三角形

①找一组锐角相等

②两组边对应成比例

等腰三角形

①找顶角相等

②一组底角相等

③底和腰对应成比例

有两组边对应成比例

①夹角相等

②第三组边也对应成比例

③有一组直角

二．考点讲解

考点1：

利用相似三角形的定义判定两三角形相似

1.如图所示，在中，.

（1）求,,的值；

（2）与相似吗？

为什么？

考点2：

利用相似三角形的定义确定相似比

2.如图，已知∽,且,,.求：

（1）与的相似比；

（2）BD的长。

变式练习：

如图所示，∽,下列式子不成立的是（）

A.B.C.D.

考点3：

利用平行线识别相似三角形

3.如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（　　）

A．3对B．4对C．5对D．6对

如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（　　）

A．1对B．2对C．3对D．4对

考点4：

利用证相似三角形求线段的长

4.如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（　　）

A．9cmB．14cmC．15cmD．18cm

如图，在平行四边形中，,，则.

考点5：

利用相似三角形对应边的比相等证明线段成比例

5.如图所示，是平行四边形的边的延长线上一点，分别交和于点和.求证：

.

如图，在梯形中，，且,点，分别是的中点，与相交于点.

（1）求证：

∽;

（2）若，求的长。

考点6：

利用两角分别相等证明两三角形相似

6.如图所示，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点。

求证：

∽.

变式练习:

如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE=60°

．求证：

△ADC∽△DEB．

考点7：

利用相似三角形证明等积式

7.如图所示，在中，,的垂直平分线交于点,交于,交的延长线于.求证：

已知：

如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且,连接。

；

（2）如果，求证：

考点8：

利用两边对应成比例夹角相等判定两个三角形相似

8.如图，在△ABC中，已知AB=AC，D、E、B、C在同一条直线上，且AB=BD•CE，求证：

△ABD∽△ECA．

如图所示，在正方形中，是上的点，且,是的中点。

考点9：

利用三边对应成比例判定三角形相似

9.如图，已知O是△ABC内一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点．求证：

△ABC∽△DEF．

如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A．B．C．D．

考点10：

利用直角三角形相似的判定方法判定两直角三角形相似

10.已知在与中，,，，，。

求证∽.

在和中，，, ，，，当

时，∽.

三．基础题型讲解

基础题型1：

添加条件来说明三角形相似

1.如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（　　）

A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC．AB=AP•ACD．

如图，，添加一个条件，使得∽

基础题型2：

寻找图形中相似三角形的对数

2.如图，在平行四边形中，过点的直线与对角线,边分别交于点，。

过点E作,交于点，则图中相似三角形有（）

A.4对B.5对C.6对D.7对

如图所示，为线段上一点，与交于,,交于,交于，则图中相似三角形有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

基础题型3：

相似三角形判定定理的应用

3.如图所示，在中，是高，

（1）求证：

∽。

（2）若与交于点，则∽.

如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°

，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°

，DE交AC于点E．

（1）求证：

△ABD∽△DCE；

（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

基础题型4：

与相似三角形有关的分类讨论题

4.如图所示，点是锐角三角形中边上的一点，过点作直线（不与直线重合）截，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有条。

如图所示是的斜边上异于的一定点，过点作直线截,使截得的三角形与相似，这样的直线共有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

基础题型5：

相似三角形与函数的综合题

5.如图所示，在正方形中，,是边上与点不重合的任意一点，于点，

（1）试说明∽；

（2）当点在上运动时，线段也随之变化。

设，求与之间的函数表达式。

如图所示，为正三角形，分别是上的点（不在顶点），.

（1）求证：

（2）若正三角形的边长为4，并设，，试求与之间的函数表达式。

四．拔高题型讲解

拔高题型1：

利用“三点定形法”找相似的三角形解决问题

1.已知：

如图所示，是斜边上的高，为的中点，的延长线交的延长线于点。

拔高题型2:

利用相似三角形的知识解决与反比例函数有关的问题

2.如图所示，是直角三角形，，，点在反比例函数的图像上。

若点在反比例函数的图像上，则的值为（）

A.-4B.4C.-2D.2

3．如图，一条直线与反比例函数y＝的图象交于A（1，4）、B（4，n）两点，与x轴交于D点，AC⊥x轴，垂足为C．

（1）如图甲，①求反比例函数的解析式；

②求n的值及D点坐标；

（2）如图乙，若点E在