亥姆霍兹方程中的格林函数Green-Function-for-Helmholtz.ppt

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GreenFunctionForHelmholtzEquations,亥姆霍兹方程中的格林函数,满足Helmholtz方程的GF,其中（r-r;）是三维Delta函数，如k=0,上式则化为Poisson方程。

在不同的边界条件下Green函数具有不同的结构。

在Lorentz规范下，势满足下列方程,可化为：

GF满足的边界条件,这里不同时为零,GreenFunction分类,1。

在边界上为零的Green函数为第一类Green函数。

2。

在边界上法向导数为零的Green函数为第二类Green函数,性质,1对称性和互易性G（r,r）=G（r,r）,是由于Delta函数的对称性而引起的,三维自由空间中的GF,由Foureir变换可以求得：

又可以化为：

其中h是球汉克尔函数,二维自由空间中的GF,二维GF满足如下的方程,同样应用留数来计算围道积分，可以得到,一维自由空间中的GF,可以作为无限均匀传输线中的单位电压源或电流源产生的场,一维自由空间中的GF,半空间中的GF,TheExpansionofGreenFunctionineigenfunction,ExpansionofGreenFunction,ApplicationsoftheGreenFunction,由第二格林恒等式，可得,非齐次Helmholtz方程的通解,上式是非齐次Helmholtz方程的通解.它表明，V中任一点的场取决于V中的源和边界S上的场量分布。

如f（r）=0,v为无源空间，场由面积分确定,非齐次Helmholtz方程的通解2,若边界上Green函数为零，则场由V内的源给定,此时格林函数为第一类格林函数，用下标1表示。

场也满足相同的辐射条件,DyadicGreenFunction,DyadicGreenFunctioninfreespace,其中,是单位并矢。

上式还可以表示为,TheradiationconditionofDyadicGreenFunctioninfreespace,DyadicGreenFunction,引入并矢格林函数的主要目的是为了得到矢量Helmholtz方程的解。

并矢格林函数与格林函数的关系,并矢格林函数也满足对称关系：

证明见P135,TheDyadicGreensFunctionforHalfspacebyPerfectConductor,TheBoundaryConditionofDyadicGreenFunction,其中en是边界上的外向法向矢量,第一类边界条件第二类边界条件,TheDyadicGreensFunctionforHalfspacebyPerfectConductor,TheDyadicGreensFunctionforHalfspacebyPerfectConductor2,其中G0（r,r）表示上半空间电流元产生的场，G0（r,ri）表示下半空间电流元的镜像所产生的场,HalfSpaceDyadicFunctionforPerfectMagneticConductor,并矢格林函数的本征展开,矢量波函数L，M，N的定义,其中,如在矩形波导中正交函数,对于不同的m,n或奇偶模是正交的,并矢格林函数的展开,其中AemnBemn，Cemn为展开系数，由正交函数的特性有：

并矢格林函数的展开2,其他两系数为,最后可得并矢格林函数的展开式为,并矢格林函数的展开3,如果定义并矢矢格林函数还可以定义为,ElectricDyadicGreenfunctionandMagneticDyadicFunction,电并矢和磁并矢分别用以下两个符号来表示,他们满足以下的方程：

他们之间的关系为,ElectricDyadicGreenfunctionandMagneticDyadicFunction2,ApplicationsoftheDyadicGreenFunction,并矢格林函数的主要应用是求解矢量Helmholtz方程的解。

这种解可以用并矢格林函数，以很简洁的形式给出。

由电流元给出的电场和磁场满足如下方程,电场的格林函数表达式,由并矢格林函数和电场E所满足的方程可以得到,所以,电场的格林函数表达式2,电场的面积分消失，则电场由V中的电流确定,由格林函数的对称性，交换r,r得到,磁场的并矢表达式,