概率论期末总复习必考题型.docx
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概率论期末总复习必考题型
复习重点题目
第一章p13例2、p14例5、习题一20、25
第二章p34例7、8；习题二15、24。
第三章p58例2、例5、p61例5、p63例1、习题三5。
第四章习题四13、14、15、16。
第七章P139例4、P148例2、习题七P1571、P15913。
第八章例4、例5、习题八3、6。
例1.5.2设袋中装有r只红球，t只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球4次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
解以Ai（i1,2,3,4）表示事件“第i次取到红球”，则A3,A4分别表示事件“第三、四次取到白球”。
所求概率为：
P（A1A2A3A4）P（A4|A1A2A3）P（A3|A1A2）P（A2|A1）P（A1）
tatrar
rt3art2artart
例1.5.4八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。
校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今从8支枪中任取一支射击中靶。
问所用这枪是校正过的概率是多少？
解设事件
A={射击中靶}
B1={任取一枪是校正过的},B2={任取一枪是未校正过的},B1,B2
构成完备事件组,
则P（B1）5/8,P（B2）3/8,P（A|B1）0.8,P（A|B2）0.3，故所求概率为
P（B1|A）P（B1）P（A|B1）/[P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）]40/490.816
习题一、
20．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。
求下列事件的概率：
（1）两只都是正品；
（2）两只都是次品；
（3）一只是正品，一只是次品；
（4）第二次取出的是次品。
解设事件Aii1,2表示第i次取出正品，则
（3）PA1A2A1A2PA1A2PA1A2
PA1A2PA1PA2A1
25．已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
PAC，由题意知
由全概率公式
再由贝叶斯公式
例2.7假设一部设备在一个工作日因故停用的概率为0.2．一周使用5个工作日可创利润10万元；使用4个工作日可创利润7万元；使用3个工作日只创利润2万元；停用3个及多于3个工作日亏损2万元．求所创利润的概率分布．
解设X为一周5个工作日停用的天数；Y为一周所创利润．一周所创利润Y为：
10，若X0，
7，若X１，
2，若X２，
2，若X３．
使用5个工作日可以视为5次“伯努利试验”，设备停用视为“成功”，成功的概率为0.2，而随机变量X作为伯努利试验成功的次数，
服从参数为（5,0.2）
的二项分
布，
因此
P{Y
10}
P{X
0}
0.850.3277，
P{Y
7}
P{X
1}
4
50.20.840.4096，
P{Y
2}
P{X
2}
23
100.220.830.2048，
P{Y
2}
P{X
3}
10.3280.4100.2050.0579．
由此，得所创利润Y的概率分布
22710
Y~．
0.05790.20480.40960.3277
例2.8某生产线平均每三分钟生产一件成品，假设不合格品率为0.01．
（1）试求8小时内出现不合格品的件数X的概率分布；
（2）试求需要多长时间，才能以不小于0.95的概率最少出现一件不合格品．
解
（1）若平均每3分钟出一件成品，则8小时内平均可以出8603160件成品，每件成品为不合格品的概率是p0.01，在160件成品中不合格品的件数X服从参数为（160，0.01）的二项分布．
（2）设n为至少出现一件不合格品所要生产成品的件数，则n件成品中不合格品的件数n服从参数为（n,0.01）的二项分布；按题意，n应满足条件
P{n1}1P{n0}10.99n0.95，
nln0.05298.0729．
ln0.99
于是，最少298.0729×3≈895分钟，将近14小时55分钟，才能以
不小于0.95的概率最少出现一件不合格品．
15．设连续型随机变量X的分布函数
0,x0
2
FxAx2,0x1
1,x1
1）确定系数A；
2）求X的密度函数；
3）求P0.7X0.9
3）P{0.7x0.9}F（0.9）F（0.7）0.32.
24．设从一批电子管中任取一只时，取得的电子管的寿命X是一个随
机变量（单位是小时），其密度函数
1）求在150小时内，取得的三只管子中没有一只坏掉的概率；
2）求在150小时内，取得的三只管子全坏掉的概率
答案：
1501001
2dx
100x23
例3.2设随机变量X和Y的联合概率分布为：
表3.2.3
XY
0
1
2
0
1/4
0
a
1
1/8
2a
1/4
试求a的值．
解由i,jpij1得，484a2a1，所以a8.
例3.5假设随机变量X和Y的联合概率分布为
X,Y
（0,1）（0,2）（1,1）（1,2）（2,1）
0.150.250.100.200.30
（1）分别求X和Y的概率分布．
（2）求Y关于X的条件概率分布．
解易见X有0,1,2等3个可能值，而Y有1,2等两个可能值．
（1）先求X的概率分布：
PX
0
PX
0,Y1
PX
0,y20.4，
PX
1
PX
1,Y1
PX
1,y20.3，
PX
2
PX
2,Y1
0.3；
01
2
X~
0.40.3
0.3
．
再求Y的概率分布：
PY1P
X
0,Y1
PX
Y1
PX2,Y10.55，
PY
21
PY1
1
0.550.45；
1
2
Y~
0.55
0.45
（2）求Y关于X的条件概率分布．Y关于X
Y关于X1的条件概率分布：
Y关于X2的条件概率分布：
PX2,Y10.3
PY1|X21，PY2|X20．
PX20.3
例1设二维随机变量的概率密度
1）
常数A的值；
2）
3）
所以A2.
2）
因此F（x,y）
3）
P{Y
Ae（2f（x,y）0A,e
分布函数F（x,y）；
P{Y
X}.
y）
x0,y
其它.
0;，
试求
1）
f（x,y）dxdy
1得
Ae
-（2x
y）dxdyA
2x
e
dx
e-y
dy
1，
F（x,y）
（1e
0,
设G:
y
2x
）（1
x，
X}P{（X,Y）
eydy
0
f（x,y）dxdy
ey）,x0,y0其它
x
0
0,
y
2e
0
（2x
y）dxdy,x
其它
0,y
即直线y
x的下方部分（图33
1所示），则
G}2e（20yx2x1
2e2xdx
3
y）dxdy
3.5已知随机变量X和Y的联合概率密度为
f（x,y）
ke（xy）,0x,0y
0,其它
（1）试确定常数k；
（2）求（X,Y）的分布函数；
（3）求P{0X1,0Y2};
（4）求P{XY}．
答案：
（1）k1
（2）Fx,y（1ex）（1ey）；（3）F1,2（1e1）（1e2）0.55；y
4）e（xy）dxdy00e（xy）dxdy0xe（xy）dydx1/2xy
习题四13141516
例7.1.4
为：
设某种电子元件的寿命服从指数分布，其分布密度函数ex,当x0
fx;
0,当xp0
今测得n个元件的寿命为x1，x2，L，xn，试求的最大似然估计值。
解按（7.4）式，构造似然函数为：
n
取对数得lnLxi；nln
i1
由此解得的最大似然估计值为：
n1
n
x
xi
i1
例7.3.2在例7.2.3所述某工厂收到供货方发来的一批电子元件的例子中，样本容量n＝10，电子元件使用寿命的样本均值x＝1300小时，样本标准差s＝90．42小时，电子元件使用寿命的概率分布可看作是正态分布，试在95%的置信概率下，对该批电子元件的平均使用寿命进行区间估计。
解：
由于该样本是小样本，故需要使用t分布进行区间估计。
在给定置信概率1-=0.95的条件下，查t分布表得自由度为n1的t分布上侧为位数t/2t0.0252.26，于是用样本均值估计总体均值的估计误差的误差限为：
该批电子元件平均使用寿命的置信区间为：
（1300－64．62）小时＜＜（1300＋64．62）小时
即有：
1235．38小时＜＜1364．62小时
计算结果表明：
在95%的可靠程度下，可以认为该批电子元件的
平均使用寿命在1235.38小时到1364.62小时之间
习题七113
于是否定H0，即认为这天包装机工作不正常。
例8.5某厂生产钢筋，其标准强度为52（kg/mm2），今抽取6个样品，测得其强度数据如下（单位：
kg/mm2）：
48.549.053.549.556.052.5.已知钢筋强度X服从正态分布，判断这批产品的强度是否合格（0.05）？
解H0:
m=m0=52vs.H1:
m?
52.
在H0成立的条件下，T=（X-m0）S2n~t（n-1）.由0.05，查t分布表，得临界值t1-a/2（5）=2.571，即P{|T|>t1-a/2（5）}=a，由样本值计
就现在
故不能否定H0，即认为产品的强度与标准强度无显著性差异，样本提供的信息来看，产品是合格的。
3．某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布N（4.45,0.1082），现测得9炉铁水的平均含碳量为4.484，若已知方差没有变化，可否认为现在生产的铁水，其平均含碳量仍为4.45（0.05）？
解：
6．某轮胎厂生产一种轮胎，其寿命服从均值30000公里，标准差
4000公里的正态
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