概率论期末总复习必考题型.docx

1、概率论期末总复习必考题型复习重点题目第一章 p13例 2、p14例 5、习题一 20、25第二章 p34 例 7、8；习题二 15、24。第三章 p58 例 2、例 5、 p61 例 5、 p63 例 1、习题三 5。第四章 习题四 13、14、 15、 16。第七章 P139 例 4、 P148 例 2、习题七 P157 1、 P159 13。第八章 例 4、例 5、习题八 3、6。例 1.5.2 设袋中装有 r 只红球， t 只白球，每次自袋中任取一只 球，观察其颜色然后放回， 并再放入 a 只与所取出的那只球同色的球， 若在袋中连续取球 4 次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到 白

2、球的概率。解 以Ai(i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则A3, A4 分别表示事 件“第三、四次取到白球” 。所求概率为：P( A1 A2 A3 A4 ) P(A4 | A1 A2 A3)P( A3 | A1A2 )P( A2 |A1)P(A1)t a t r a rr t 3a r t 2a r t a r t例 1.5.4 八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。校 正过的枪射击时，中靶的概率为 0.8，未校正的枪射击时，中靶的概 率为 0.3，今从 8 支枪中任取一支射击中靶。问所用这枪是校正过的 概率是多少？解 设事件A=射击中靶B1= 任取一枪是校正过的 ,

3、B2 =任取一枪是未校正过的 , B1, B2构成完备事件组 ,则 P(B1) 5/8,P(B2) 3/8,P(A |B1) 0.8,P(A|B2) 0.3， 故所求概率为P(B1 | A) P(B1)P(A|B1)/P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A|B2) 40/49 0.816习题一、20已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取一 只，作不放回抽样。求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。解 设事件 Ai i 1,2 表示第 i 次取出正品，则(3) P A1A2 A1A2 P A1

4、A2 P A1A2P A1 A2 P A1 P A2 A125已知男人中有 5%是色盲患者，女人中有 0.25%是色盲患者，今 从男女人数相等的人群中随机挑选一人， 恰好是色盲患者， 问此人是 男性的概率是多少？P A C ，由题意知由全概率公式再由贝叶斯公式例 2.7 假设一部设备在一个工作日因故停用的概率为 0.2一周 使用 5个工作日可创利润 10万元；使用 4 个工作日可创利润 7万元； 使用 3个工作日只创利润 2 万元；停用 3个及多于 3 个工作日亏损 2 万元求所创利润的概率分布解 设 X 为一周 5 个工作日停用的天数； Y 为一周所创利润 一周 所创利润 Y 为：10，若

5、X 0，7，若 X ，2，若 X ，2，若 X 使用 5 个工作日可以视为 5 次“伯努利试验”，设备停用视为 “成 功”，成功的概率为 0.2，而随机变量 X 作为伯努利试验成功的次数，服从参数为 (5, 0.2)的二项分布，因此PY10PX00.85 0.3277，PY7P X145 0.2 0.84 0.4096，PY2P X22310 0.22 0.83 0.2048，PY2P X31 0.328 0.410 0.205 0.0579由此，得所创利润 Y 的概率分布2 2 7 10Y 0.0579 0.2048 0.4096 0.3277例 2.8 某生产线平均每三分钟生产一件成品，假

6、设不合格品率 为 0.01(1) 试求 8 小时内出现不合格品的件数 X的概率分布；(2) 试求需要多长时间，才能以不小于 0.95 的概率最少出现一件 不合格品解 (1) 若平均每 3 分钟出一件成品，则 8 小时内平均可以出 8 60 3 160 件成品，每件成品为不合格品的概率是 p 0.01 ，在 160 件 成品中不合格品的件数 X 服从参数为( 160，0.01)的二项分布(2) 设 n 为至少出现一件不合格品所要生产成品的件数，则 n 件 成品中不合格品的件数 n服从参数为 (n, 0.01) 的二项分布；按题意， n 应满足条件P n 1 1 P n 0 1 0.99n 0.9

7、5，n ln 0.05 298.0729 ln 0.99于是，最少 298.07293895 分钟，将近 14 小时 55 分钟，才能以不小于 0.95 的概率最少出现一件不合格品15设连续型随机变量 X 的分布函数0, x 02F x Ax 2, 0 x 11, x 11)确定系数 A ；2）求 X 的密度函数；3)求 P 0.7 X 0.93) P0.7 x 0.9 F (0.9) F (0.7) 0.32.24设从一批电子管中任取一只时， 取得的电子管的寿命 X 是一个随机变量（单位是小时） ，其密度函数1）求在 150 小时内，取得的三只管子中没有一只坏掉的概率；2）求在 150 小时

8、内，取得的三只管子全坏掉的概率答案：150 100 12 dx100 x2 3例 3.2 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为：表 3.2.3XY01201/40a11/82a1/4试求 a 的值解 由 i,j pij 1得， 4 8 4 a 2a 1，所以 a 8.例 3.5 假设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为X,Y(0,1) (0,2) (1,1) (1,2) (2,1)0.15 0.25 0.10 0.20 0.30(1) 分别求 X 和Y 的概率分布(2) 求Y关于 X的条件概率分布解 易见 X 有 0,1,2等 3个可能值，而 Y有 1,2等两个可能值(1) 先求 X 的

9、概率分布：PX0PX0,Y 1PX0, y 2 0.4，PX1PX1,Y 1PX1,y 2 0.3，PX2PX2,Y 10.3；012X0.4 0.30.3再求Y 的概率分布：P Y 1 PX0,Y 1PXY1P X 2,Y 1 0.55，PY21P Y 110.55 0.45；12Y0.550.45 (2) 求Y关于 X 的条件概率分布 Y关于 XY 关于 X 1 的条件概率分布：Y 关于 X 2 的条件概率分布： P X 2,Y 1 0.3PY 1| X 2 1，P Y 2|X 2 0P X 2 0.3例 1 设二维随机变量的概率密度1)常数 A 的值；2)3)所以 A 2.2)因此 F(

10、x, y)3)PYAe (2 f (x, y) 0A,e分布函数 F(x, y)；PYX .y),x 0,y其它.0;，试求1)f (x, y)dx dy1得Ae-(2xy) dx dy A2xedxe- ydy1，F(x, y)(1 e0,设G:y2x)(1x，X P( X, Y)e y dy0f (x, y)dx dye y ),x 0,y 0 其它x00,y2e0(2xy )dxdy, x其它0,y即直线 yx 的下方部分(图 3 31所示)，则G 2e (2 0yx 2x 12e 2x dx3y) dxdy3.5 已知随机变量 X 和Y 的联合概率密度为f (x,y)ke (x y),

11、0 x ,0 y0, 其它( 1)试确定常数 k ；(2)求 (X ,Y)的分布函数；( 3)求 P0 X 1,0 Y 2;(4)求 PX Y 答案：(1) k 1(2)F x,y (1 e x)(1 e y)；(3)F 1,2 (1 e1)(1 e2) 0.55； y4) e (x y)dxdy 0 0 e (x y )dxdy 0 x e (x y)dydx 1/ 2 xy习题四 13 14 15 16例 7.1.4为：设某种电子元件的寿命服从指数分布，其分布密度函数 e x ,当x 0f x;0,当xp0今测得 n 个元件的寿命为 x1，x2，L ，xn，试求 的最大似然估计值。解 按（

12、7.4 ）式，构造似然函数为：n取对数得 ln L xi； n lni1由此解得 的最大似然估计值为：n1nxxii1例 7.3.2 在例 7.2.3 所述某工厂收到供货方发来的一批电子元件的例 子中，样本容量 n 10，电子元件使用寿命的样本均值 x 1300 小 时，样本标准差 s 9042 小时，电子元件使用寿命的概率分布可看 作是正态分布，试在 95%的置信概率下，对该批电子元件的平均使用 寿命进行区间估计。解：由于该样本是小样本，故需要使用 t 分布进行区间估计。在 给定置信概率 1- =0.95 的条件下，查 t 分布表得自由度为 n 1的 t 分布上侧为位数 t /2 t0.02

13、5 2.26 ，于是用样本均值估计总体均值的估计 误差的误差限为：该批电子元件平均使用寿命的置信区间为：（13006462）小时 （ 13006462）小时即有：123538 小时 136462 小时计算结果表明：在 95%的可靠程度下，可以认为该批电子元件的平均使用寿命在 1235.38 小时到 1364.62 小时之间习题七 1 13于是否定 H0 ，即认为这天包装机工作不正常。例 8.5 某厂生产钢筋，其标准强度为 52(kg/mm2) ，今抽取 6 个 样品，测得其强度数据如下 (单位： kg/mm2)：48.5 49.0 53.5 49.5 56.0 52.5. 已知钢筋强度 X 服

14、从正态分布，判断这批产品的强度是 否合格 ( 0.05)？解 H0:m= m0 = 52 vs. H1:m? 52.在 H 0成立的条件下， T= (X- m0) S2 n t(n- 1). 由 0.05 ，查t 分布表，得临界值 t1- a /2(5) = 2.571，即 P|T| t1- a /2 (5) = a ，由样本值计就现在故不能否定 H0 ，即认为产品的强度与标准强度无显著性差异， 样本提供的信息来看，产品是合格的。3某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布 N (4.45,0.108 2 ) ，现测得 9 炉铁 水的平均含碳量为 4.484，若已知方差没有变化，可否认为现在生产 的铁水，其平均含碳量仍为 4.45( 0.05 )？解：6某轮胎厂生产一种轮胎，其寿命服从均值 30000 公里，标准差4000 公里的正态