三角函数平面向量综合题八类型师_精品文档文档格式.doc

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第（Ⅱ）小题根据所求得的tanα的结果，利用二倍角公式求得tan的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果．

【解】　（Ⅰ）∵⊥，∴·

＝0．而＝（3sinα，cosα），＝（2sinα,5sinα－4cosα），

故·

＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．

由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．

∵α∈（，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．

（Ⅱ）∵α∈（，2π），∴∈（，π）．

由tanα＝－，求得tan＝－，tan＝2（舍去）．∴sin＝，cos＝－，

∴cos（＋）＝coscos－sinsin＝－×

－×

＝－

题型三.　三角函数与平面向量的模的综合

【例3】　已知向量＝（cosα,sinα），＝（cosβ,sinβ），|－|＝.（Ⅰ）求cos（α－β）的值；

（Ⅱ）若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.

【分析】　利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第（Ⅰ）小题；

而第（Ⅱ）小题则可变角α＝（α－β）＋β，然后就须求sin（α－β）与cosβ即可.

【解】　（Ⅰ）∵|－|＝，∴2－2·

＋2＝，

将向量＝（cosα,sinα），＝（cosβ,sinβ）代入上式得

12－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＋12＝，∴cos（α－β）＝.

（Ⅱ）∵－＜β＜0＜α＜，∴0＜α－β＜π，

由cos（α－β）＝－，得sin（α－β）＝，

又sinβ＝－，∴cosβ＝，

∴sinα＝sin［（α－β）＋β］＝sin（α－β）cosβ＋cos（α－β）sinβ＝.

题型四：

结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值

【例1】

（2010年高考安徽卷）已知，为的最小正周期，，求的值．

【解答】因为为的最小正周期，故．因为，

又，故．

由于，所以

．

【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。



练习1：

设函数f（x）＝·

.其中向量＝（m，cosx），＝（1＋sinx，1），x∈R，且f（）＝2.（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的最小值.

分析：

利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”，从而，建立函数f（x）关系式，第（Ⅰ）小题直接利用条件f（）＝2可以求得，而第（Ⅱ）小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.

解：

（Ⅰ）f（x）＝·

＝m（1＋sinx）＋cosx，

由f（）＝2，得m（1＋sin）＋cos＝2，解得m＝1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）＝sinx＋cosx＋1＝sin（x＋）＋1，

当sin（x＋）＝－1时，f（x）的最小值为1－.

　　题型五：

结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题

　　【例2】（2006年高考浙江卷）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角。

【解答】

（I）因为函数图像过点，

所以即

因为，所以.

（II）由函数及其图像，得

所以从而

，故.

　　【评析】此类问题的一般步骤是：

先利用向量的夹角公式：

求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；

或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。

题型六：

结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算

【例3】

（山东卷）在中，角的对边分别为，．

（1）求；

（2）若，且，求．

（1），,

又，解得：

，

，是锐角，．

（2），，，

又，，，

，．

【评析】根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化，列出等式求解。



题型七：

结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算

【例4】

（2007年高考陕西卷），其中向量，，，且函数的图象经过点．

（Ⅰ）求实数的值；



（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合。

（Ⅰ）

由已知，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

∴当时，的最小值为，

由，得值的集合为．

　　【评析】涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。

题型八：

结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法

【例5】

（2007年高考湖北卷）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（　　）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

【解答】∵，∴平移后的解析式为

，选．

【评析】理清函数按向量平移的一般方法是解决此类问题之关键，平移后的函数解析式为．

题型九：

结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题

【例6】

（2006年高考湖北卷）设向量，函数.

（Ⅰ）求函数的最大值与最小正周期；

（Ⅱ）求使不等式成立的的取值集.

（Ⅰ）∵

∴的最大值为，最小正周期是

（Ⅱ）要使成立，当且仅当，

即,

即成立的的取值集合是．

　　【评析】结合向量的坐标运算法则，求出函数的三角函数关系式，再根据三角公式对函数的三角恒等关系，然后借助基本三角函数的单调性，求简单三角不等式的解集。

【专题训练】

一、选择题

1．已知＝（cos40°

，sin40°

），＝（cos20°

，sin20°

），则·

＝ （）

A．1 B． C． D．

2．将函数y＝2sin2x－的图象按向量（，）平移后得到图象对应的解析式是 （）

A．2cos2x B．－2cos2x C．2sin2x D．－2sin2x

3．已知△ABC中，＝，＝，若·

＜0，则△ABC是 （）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．任意三角形

4．设＝（,sina），＝（cosa,），且∥，则锐角a为 （）

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

5．已知＝（sinθ，），＝（1，），其中θ∈（π，），则一定有 （）

A．∥ B．⊥ C．与夹角为45°

D．||＝||

6．已知向量＝（6，－4），＝（0，2）,＝＋l，若C点在函数y＝sinx的图象上,实数l＝ （）

A． B． C．－ D．－

7．设0≤θ≤2π时，已知两个向量＝（cosθ，sinθ），＝（2＋sinθ，2－cosθ），则向量长度的最大值是 （）

A． B． C．3 D．2

8．若向量＝（cosa,sina），＝（cosb,sinb），则与一定满足 （）

A．与的夹角等于a－b B．⊥

C．∥ D．（＋）⊥（－）

9．已知向量＝（cos25°

sin25°

），＝（sin20°

cos20°

），若t是实数，且＝＋t，则||的最小值为 （）

A． B．1 C． D．

10．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：

＝＋l（＋），l∈（0,＋∞），则直线AP一定通过△ABC的 （）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

二、填空题

11．已知向量＝（sinq，2cosq），＝（,－）.若∥，则sin2q的值为____________．

12．已知在△OAB（O为原点）中，＝（2cosa，2sina），＝（5cosb，5sinb），若·

＝－5，则S△AOB的值为_____________.

13．已知向量＝（1，1）向量与向量夹角为，且·

＝－1.则向量＝__________．

三、解答题

14．已知向量＝（sinA,cosA），＝（,－1），·

＝1，且为锐角.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求函数f（x）＝cos2x＋4cosAsinx（x∈R）的值域．

15．在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量＝（1，2sinA），＝（sinA，1＋cosA），满足∥，b＋c＝a.（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sin（B＋）的值．

16．△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，＝（2b－c，a），＝（cosA，－cosC），且⊥．

（Ⅱ）当y＝2sin2B＋sin（2B＋）取最大值时，求角的大小.

17．已知＝（cosx＋sinx，sinx），＝（cosx－sinx，2cosx），

（Ⅰ）求证：

向量与向量不可能平行；

（Ⅱ）若f（x）＝·

，且x∈[－,]时，求函数f（x）的最大值及最小值．

18．设函数，其中向量，

（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的．

19．已知向量．

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）求的最大值．

【参考答案】

【专题训练】参考答案

1．B　解析：

由数量积的坐标表示知·

＝cos40°

sin20°

＋sin40°

cos20°

＝sin60°

＝.

2．D【解析】y＝2sin2x－→y＝2sin2（x＋）－＋，即y＝－2sin2x.

3．A【解析】因为cos∠BAC＝＝＜0，∴∠BAC为钝角.

4．B【解析】由平行的充要条件得×

－sinacosa＝0，sin2a＝1，2a＝90°

，a＝45°

.

5．B【解析】·

＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈（π，），∴|sinθ|＝－sinθ，∴·

＝0，∴⊥．

6．A【解析】＝＋l＝（6，－4＋2l），代入y＝sinx得，－4＋2l＝sin＝1，解得l

7．C【解析】||＝＝≤3.

8．D【解析】＋＝（cosa＋cosb,sina＋sinb），－＝（cosa＋cosb,sina－sinb），∴（＋）·

（－）＝