高中数学12指数函数及其性质第1课时示范教案新人教A版必修1Word文件下载.docx
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课时安排
3课时
教学过程
第1课时指数函数及其性质
（1）
导入新课
思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式,它是函数关系式吗？
若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的,则至少要漂洗几次？
教师引导学生分析,列出关系式y=（）x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题.
思路2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算23,20,2-2,16,27,49.再提问怎样画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案8,1,,2,9,,先建立平面直角坐标系,再描点,最后连线.点出本节课题.
思路3.在本章的开头,问题
（2）中时间t和碳14含量P的对应关系P=［（）］t,如果我们用x表示时间,y表示碳14的含量,则上述关系可表示为y=［（）］x,这是我们习惯上的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函数的确切概念,从而引出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是_________.（y=0.84x）
2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的关系式是_________.（y=2x）
（1）你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗?
（2）你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念?
（3）为什么指数函数的概念中明确规定a>
0,a≠1?
（4）为什么指数函数的定义域是实数集?
（5）如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？
请你说出它的步骤.
活动：
先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的问题集中解决.
问题
（1）看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值.
问题
（2）一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量.
问题（3）为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性.
问题（4）在（3）的规定下,我们可以把ax看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义.
问题（5）使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,紧扣指数函数的形式.
讨论结果：
（1）对于两个解析式我们看到每给自变量x一个值,y都有唯一确定的值和它对应,再就是它们的自变量x都在指数的位置上,它们的底数都大于0,但一个大于1,一个小于1.0.84与2虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有x和y.
（2）对于两个解析式y=0.84x和y=2x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a来表示,这样我们得到指数函数的定义:
一般地,函数y=ax（a>
0,a≠1）叫做指数函数,其中x叫自变量,函数的定义域是实数集R.
（3）a=0时,x>
0时,ax总为0;
x≤0时,ax没有意义.
a<
0时,如a=-2,x=,ax=（-2）=显然是没有意义的.
a=1时,ax恒等于1,没有研究的必要.
因此规定a>
0,a≠1.此解释只要能说明即可,不要深化.
（4）因为a>
0,x可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集R.
（5）判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是一个x且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数.
（1）前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢?
（2）前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?
说明它的步骤.
（3）利用上面的步骤,作函数y=2x的图象.
（4）利用上面的步骤,作函数y=（）x的图象.
（5）观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特点?
（6）根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗?
（7）把y=2x和y=（）x的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗?
（8）你能证明上述结论吗?
（9）能否用y=2x的图象画y=（）x的图象?
请说明画法的理由.
教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影展示课本表21,22及图2.12,2.13及2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考,提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识.
（1）我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质.
（2）一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象.
（3）列表.
x
-3.00
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
y=2x
1
2
4
作图如图2-1-2-1
图2-1-2-1
（4）列表.
2.50
y=（）x
作图如图2-1-2-2
图2-1-2-2
（5）通过观察图2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说明是增函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,且y值分布有以下特点,x<
0时0<
y<
1,x>
0时y>
1.图象不关于x轴对称,也不关于y轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.
通过观察图2122,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是减函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,x<
可以再画下列函数的图象以作比较,y=3x,y=6x,y=（）x,y=（）x.重新观察函数图象的特点,推广到一般的情形.
（6）一般地,指数函数y=ax在a>
1和0<
1的情况下,它的图象特征和函数性质如下表所示.
图象特征
函数性质
a＞1
0＜a＜1
向x轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点（0,1）
a0=1
自左向右,图象逐渐上升
自左向右,图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于
1x＞0,ax＞1
x＞0,ax＜1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1
x＜0,ax＜1
x＜0,ax＞1
一般地,指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
图象
性质
①定义域：
R
②值域：
（0,+∞）
③过点（0,1）,即x=0时y=1
④在R上是增函数,当x＜0时,0＜y＜1;
当x＞0时,y＞1
④在R上是减函数,当x＜0时,y＞1;
当x＞0时,0＜y＜1
（7）在同一坐标系中作出y=2x和y=（）x两个函数的图象,如图2-1-2-3.经过仔细研究发现,它们的图象关于y轴对称.
图2-1-2-3
（8）证明:
设点p（x1,y1）是y=2x上的任意一点,它关于y轴的对称点是p1（-x1,y1）,它满足方程y=（）x=2-x,即点p1（-x1,y1）在y=（）x的图象上,反之亦然,所以y=2x和y=（）x两个函数的图象关于y轴对称.
（9）因为y=2x和y=（）x两个函数的图象关于y轴对称,所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法,对以后的学习非常有好处.
应用示例
思路1
例1判断下列函数是否是一个指数函数？
y=x2,y=8x,y=2·
4x,y=（2a-1）x（a>
a≠1）,y=（-4）x,y=πx,y=6x3+2.
学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为y=x2,y=2·
4x,y=6x3+2都不符合y=ax的形式,教师强调y=ax的形式的重要性,即a前面的系数为1,a是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式）,指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式.
解：
y=8x,y=（2a-1）x（a>
a≠1）,y=（-4）x,y=πx是指数函数;
y=x2,y=2·
4x,y=6x3+2不是指数函数.
变式训练
函数y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=（）-2x（a>
0,a≠1）中是指数函数的有哪些?
答案：
y=23x=（23）x,y=a-x=（）x,y=（）-2x=［（）-2］x是指数函数.
例2比较下列各题中的两个值的大小:
（1）1.72.5与1.73;
（2）0.8-0.1与0.8-0.2;
（3）1.70.3与0.93.1.
学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出（最好用实物投影仪展示写得正确的答案）,比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正,则前面的数大;
二是作商,但必须是同号数,看商与1的大小,再决定两
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