三角形全等之截长补短讲义及答案docxWord下载.docx

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截长补短：

题目中出现时，考虑截长补短；

截长补短的作

用是

＞精讲精练

1.已知：

如图，在AABC中，Z1=Z2,ZB=2ZC.求证：

AC=AB+BD.

2.如图，在四边形ABCD屮，ZA=ZB=90°

，点E为AB边上一点,且DE平分ZADC,CE平分乙BCD・

CD=AD+BC・

3.已知：

如图，在正方形ABCD中，AD=AB,ZB=ZD=ZBAD=90°

fE,F分别为CD,BC边上的点，且ZEAF=45。

，连接EF・

EF=BF+DE.

4.已知：

如图，在△ABC屮，ZABC=60°

△ABC的角平分线ADfCE交于点

0・

AC=AE+CD.

C

5.已知：

如图，在AABC中，ZA=90°

AB=AC,平分ZABC,CE丄BD交BD的延长线于点E.

CE=-BD.

A

【参考答案】

＞课前预习

1.略

2.证明：

如图

•:

BM平分ZABC,PD丄BC,PEA.BA

:

.PE=PD,ZPEB=ZPDB=ZPDC=90°

在RtAPBE和RtAPBD中，

[PE=PD

\PB=PB

・"

.RtAPBE^RtAPBO（HL）

.BE=BD

・・•BE二AB+AE

BD二AB+CD

.AE=CD

在和△PCD中

AE=CD

＜ZPEA=ZPDC

PE=PD

.'

PAEQ'

PCD（SAS）

＞知识点睛

线段间的和差倍分；

把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系.

1.补短法：

证明：

如图，延长AB到E,使BE=BD,连接DE・

AZE=Z3

TZABC是的一个外角

•••ZABC=ZE+Z3

.ZABC=2ZE

TZABC=2ZC

1

B/

//

.ZE=ZC

在△人。

£

和厶ADC屮

ZE=ZC

Z1=Z2

AD=AD

./\ADE^/\ADC（AAS）

.AE=AC

.AC=AB+BE

=AB+BD

截长法：

如图，在AC上截取AF=AB,连接DF・在△ABD和中人

严肚12

<

Z1=Z2

.HABD9HAFD（SAS）BD

.ZB=ZAFD,BD=FD

ZB=2ZC

.ZAFD=2ZC

・・・ZAFD是ADFC的一个外角

・•・ZAFD=ZC+ZFDC

.ZFDC=ZC

・•・DF=FC

.BD=FC

.AC=AF+FC

2.

如图，在DC上截取DF=DA,连接EF・

TDE平分ZADC,CE平分上BCD

AZ1=Z2,Z3=Z4

在和中

AD=FD

DE=DE:

.（SAS）

・•・ZA=ZDFE

JZA=ZB=90°

・・・ZDFE=ZCFE=ZB=90°

在△CFE和ACBE中

ZCFE=ZB

Z3=Z4

CE=CE/.ACEF^ACBE（AAS）

・・・CF=CB

.CD=DF+FC

=AD+BC

3.证明：

如图，延长FB到G,使BG=DE,连接AG・

・・・ZABC=ZD=90°

.ZABG=ZD=90°

在△ABG和中

AB=AD

ZABG=ZD

BG=DE」

.△ABG竺/\ADE（SAS）G

AZ3=Z2,AG=AE

IZBAD=Z\+Z2+ZEAF

=90°

ZEAF=45。

AZ1+Z2=45°

AZ1+Z3=45°

即：

ZGAF=ZEAF=45°

在和AGAF中

AE=AG

ZEAF=ZGAF

AF=AF

AAEAF^AGAF（SAS）

・•・EF=GF

.EF=B®

BF二BF+DE

4.证明：

如图，在AC上截取AF二AE,连接OF.

TADCE分别是的角平分线

B

AZ1=Z2,Z3=Z4在△AEO和△AFO中

AE=AF

AO=AO

AZ5=Z6

在中，ZB二60。

•••Z1+Z2+Z3+Z4二120。

AZ2+Z3=60°

VZ5是厶AOC的一个外角

AZ5=Z2+Z3=60°

AZ8=Z5=60°

Z6=Z5=60°

Z7=180°

-Z5-Z6=60°

Z.Z7=Z8

在ACFO和△CDO屮

Z3=Z4

co=co

Z7=Z8

/.ACFO^ACPO（ASA）

・•・CD=CF

.AC=AF+CF

=AE+CD

5.证明：

如图，延长CE交84的延长线于F.

•・・CE_LBD

AZBEC=ZBEF=90°

•・・3D平分ZABCZ

•SC尹

VZBAC=90°

ZBEC=90。

・・・Z1+Z4二90。

，Z3+Z5二90。

•・•Z4二Z5

・・・Z1=Z3

・・•ZBAC=90°

.ZBAD=ZCAF=90°

在△BAD和△C4F中

Z1=Z3

AB=AC

ABAD=ZCAF

•••△BAD竺△CAF（ASA）

.BD=CF

VCE=-CF

2

，.+