初二辅助线的作法例题及练习答案Word文件下载.docx

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90）后，如图②所示，

（1）问中得到的两个结论是否发生改变？

并说明理由．

二、截长补短

1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：

CD⊥AC

2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;

AB＝AC+BD

3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。

求证：

BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;

AB-AC＞PB-PC

在BC上截取BF=BE,因为∠B=60°

所以三角形BEF为等边三角形,EF=BE=BF

AB=BC所以AE=FC

又因为∠DEC=60°

所以∠AED+∠BEC=120

又∠BCE+∠BEC=120所以∠AED=∠BCE∠A=∠EFC=120

所以三角形AED和三角形FCE全等,所以AD=EF=BE

AD+AE=AE+EB=AB=BC

三、平移变换

例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.

设C1点为C的对称点,连接A、C1,E、C1.那么AC=AC1,CE=C1E,又B、A、C1在一直线上（1/2∠BAC+1/2∠CAC1=90°

所以∠BAC+∠CAC1=180°

）,那么BEC1为三角形,BE+C1E＞BA+AC1（BC1）,因此BE+CE＞BA+AC,不等式两边同加BC得：

Pb＞Pa.

砂砂tCR42014-10-20

例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：

AB+AC>

AD+AE.

取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.

∵BD=CE,

∴DM=EM,

∴△DMN≌△EMA（SAS）,

∴DN=AE,

同理BN=CA.

延长ND交AB于P,则

BN+BP>

PN,DP+PA>

AD,

相加得BN+BP+DP+PA>

PN+AD,

各减去DP,得BN+AB>

DN+AD,

∴AB+AC>

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°

，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：

OE=OD

①∵AD、CE分别平分∠BAC、∠BCA，

∴∠OAC+∠OCA=1/2（∠BAC+∠BCA）=1/2（180°

-∠B）=60°

，

∴∠AOC=120°

∴∠AOE=∠COD=60°

②在AC上截取AF=AE，连接OF，

∵A=AF，∠OAE=∠OAF，AO=AO，

∴ΔAOE≌ΔAOF（SAS），

∴∠AOF=∠AOE=60°

，OE=OF，

∴∠COF=120°

-∠AOF=60°

③在ΔOCF与ΔOCD中：

∠COD=∠COF=60°

，OC=OC，∠OCF=∠OCD，

∴ΔOCF≌ΔOCD（ASA），

∴OD=OF，

∴OE=OD。

证明：

连接OB，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N

∵∠ABC＝60∴∠BAC+∠ACB＝180-∠ABC＝120

∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB

∴∠OAC＝∠BAC/2,∠OCA＝∠ACB/2

∴∠AOC＝180-（∠OAC+∠OCA）＝180-（∠BAC+∠ACB）/2＝120

∴∠DOE＝∠AOC＝120∴∠ABC+∠DOE＝180∵∠ODB+∠OEB+∠ABC+∠DOE＝180

∴∠ODB+∠OEB＝180∵∠OEB+∠OEA＝180

∴∠OEA＝∠ODB又∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB

∴O是△ABC角平分线交点∴OB平分∠ABC

∵OM⊥AB，ON⊥BC∴OM＝ON，∠OME＝∠OND＝90

∴△OME≌△OND（AAS）

∴OE＝OD

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.

（1）证明：

连接BD，CD，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°

∵DG⊥BC且平分BC，

∴BD=CD，

在Rt△BED与Rt△CFD中，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴BE=CF；

（2）解：

在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE=AF，

设BE=x，则CF=x，

∵AB=a，AC=b，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，

∴a﹣x=b+x，

解得：

x=

∴BE=，AE=AB﹣BE=a﹣=．

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°

，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其它条件不变，请问，你在

（1）中所得结论是否仍然成立？

若成立，请证明；

若不成立，请说明理由。

（2）FE=FD．（5分）

如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠EAF=∠GAF，

在△EAF和△GAF中

∵AE=AG∠EAF=∠FAGAF=AF

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°

．（6分）

∴∠GFC=180°

-60°

=60°

．

又∵∠DFC=∠EFA=60°

∴∠DFC=∠GFC．（7分）

在△FDC和△FGC中

∵∠DFC=∠GFCFC=FC∠FCG=∠FCD

∴△FDC≌△FGC（ASA），

∴FD=FG．

∴FE=FD．（8分）

（3）

（2）中的结论FE=FD仍然成立．（9分）

同

（2）可得△EAF≌△HAF，

∴FE=FH，∠EFA=∠HFA．（10分）

又由

（1）知∠FAC=12∠BAC，∠FCA=12∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA=12（∠BAC+∠ACB）=12（180°

∴∠AFC=180°

-（∠FAC+∠FCA）=120°

∴∠EFA=∠HFA=180°

-120°

．（11分）

同

（2）可得△FDC≌△FHC，

∴FD=FH．

∴FE=FD．（12分）

回答者：

teacher092

1、FE=FD．

∴∠DFC=∠GFC．

∴FE=FD．

2、第一问中的结论FE=FD仍然成立．

同

（1）可得△EAF≌△HAF，

∴FE=FH，∠EFA=∠HFA．

又由

（1）知∠FAC=1/2∠BAC，∠FCA=1/2∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA=1/2（∠BAC+∠ACB）=1/2（180°

同

（1）可得△FDC≌△FHC，

∴FE=FD．

五、旋转

例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

延长CB,在CB延长线上取点G使得GB=DF,连结AG

那么GB=DF,GE=GB+BE=DF+BE=EF

在直角三角形ADF和直角三角形ABG中,

因为角ADF=角ABG是直角

又因为GB=DF,AB=AD（都是正方形的边）

所以直角三角形ADF全等于直角三角形ABG

所以AF=AG,角DAF=角BAG

对于三角形AGE和三角形AFE

因为AE=AE；

AG=AF;

GE=FE

所以三角形AGE全等于三角形AFE

所以角GAE=角EAF

2*角EAF=角GAE+角EAF=角BAG+角BAF=角FAD+角BAF=角BAD=90度

所以角EAF=90度/2=45度

例2D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）当绕点D转动时，求证DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

解：

（1）连CD，如图，

∵D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，

∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°

，CD=DA，

∴∠BCD=45°

，∠CDA=90°

∵∠DM⊥DN，

∴∠EDF=90°

∴∠CDE=∠ADF，

在△DCE和△ADF中，

∴△DCE≌△ADF，

∴DE=DF；

（2）∵△DCE≌△ADF，

∴S△DCE=S△ADF，

∴四边形DECF的面积=S△ACD，

而AB=2，

∴CD=DA=1，

∴四边形DECF的面积=S△ACD=CDDA=．

例3如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为；

1、已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．

当绕点旋转到时（如图1），易证