1、AD+AE.取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则BN+BPPN,DP+PAAD,相加得BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去DP,得BN+ABDN+AD,AB+AC四、借助角平分线造全等1、如图,已知在ABC中,B=60,ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=ODAD、CE分别平分BAC、BCA,OAC+OCA=1/2(BAC+BCA)=1/2(180-B)=60,AOC=120AOE=COD=60在AC上截取AF=AE,连接OF,A=AF,OAE=OAF,A
2、O=AO,AOEAOF(SAS),AOF=AOE=60,OE=OF,COF=120-AOF=60在OCF与OCD中:COD=COF=60,OC=OC,OCF=OCD,OCFOCD(ASA),OD=OF,OE=OD。证明:连接OB,过点O作OMAB于M,ONBC于N ABC60 BAC+ACB180-ABC120 AD平分BAC,CE平分ACB OACBAC/2, OCAACB/2 AOC180-(OAC+OCA)180-(BAC+ACB)/2120 DOEAOC120 ABC+DOE180 ODB+OEB+ABC+DOE180 ODB+OEB180 OEB+OEA180 OEAODB 又AD平
3、分BAC,CE平分ACB O是ABC角平分线交点 OB平分ABC OMAB,ONBC OMON,OMEOND90 OMEOND (AAS) OEOD2、如图,ABC中,AD平分BAC,DGBC且平分BC,DEAB于E,DFAC于F. (1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=,AC=,求AE、BE的长.(1)证明:连接BD,CD,AD平分BAC,DEAB,DFAC,DE=DF,BED=CFD=90DGBC且平分BC,BD=CD,在RtBED与RtCFD中,RtBEDRtCFD(HL),BE=CF;(2)解:在AED和AFD中,AEDAFD(AAS),AE=AF,设BE=x,则CF=x,AB=
4、a,AC=b,AE=ABBE,AF=AC+CF,ax=b+x,解得:x=BE= ,AE=ABBE=a = 1、如图,OP是MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图,在ABC中,ACB是直角,B=60,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;(2)如图,在ABC中,如果ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。(2)FE=FD(5分)如图2,在AC上截取AG=AE,连接F
5、GAD是BAC的平分线,EAF=GAF,在EAF和GAF中 AE=AG EAF=FAG AF=AF EAFGAF(SAS),FE=FG,EFA=GFA=60(6分)GFC=180-60=60又DFC=EFA=60DFC=GFC(7分)在FDC和FGC中 DFC=GFC FC=FC FCG=FCD FDCFGC(ASA),FD=FGFE=FD(8分)(3)(2)中的结论FE=FD仍然成立(9分)同(2)可得EAFHAF,FE=FH,EFA=HFA(10分)又由(1)知FAC=1 2 BAC,FCA=1 2 ACB,FAC+FCA=1 2 (BAC+ACB)=1 2 (180AFC=180-(FA
6、C+FCA)=120EFA=HFA=180-120(11分)同(2)可得FDCFHC,FD=FHFE=FD(12分) 回答者:teacher092 1、FE=FDDFC=GFCFE=FD2、第一问中的结论FE=FD仍然成立同(1)可得EAFHAF,FE=FH,EFA=HFA又由(1)知FAC=1/2BAC,FCA=1/2ACB,FAC+FCA=1/2(BAC+ACB)=1/2(180同(1)可得FDCFHC,FE=FD 五、旋转例1 正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求EAF的度数.延长CB,在CB延长线上取点G使得GB=DF,连结AG那么GB=DF,GE
7、=GB+BE=DF+BE=EF在直角三角形ADF和直角三角形ABG中,因为角ADF=角ABG是直角又因为GB=DF,AB=AD(都是正方形的边)所以直角三角形ADF全等于直角三角形ABG所以AF=AG,角DAF=角BAG对于三角形AGE和三角形AFE因为AE=AE;AG=AF;GE=FE所以三角形AGE全等于三角形AFE所以角GAE=角EAF2*角EAF=角GAE+角EAF=角BAG+角BAF=角FAD+角BAF=角BAD=90度所以角EAF=90度/2=45度例2 D为等腰斜边AB的中点,DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1) 当绕点D转动时,求证DE=DF。(2) 若AB=
8、2,求四边形DECF的面积。解:(1)连CD,如图,D为等腰RtABC斜边AB的中点,CD平分ACB,CDAB,A=45,CD=DA,BCD=45,CDA=90DMDN,EDF=90CDE=ADF,在DCE和ADF中,DCEADF,DE=DF;(2)DCEADF,SDCE=SADF,四边形DECF的面积=SACD,而AB=2,CD=DA=1,四边形DECF的面积=SACD=CDDA=例3 如图,是边长为3的等边三角形,是等腰三角形,且,以D为顶点做一个角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则的周长为 ;1、已知四边形中,绕点旋转,它的两边分别交(或它们的延长线)于当绕点旋转到时(如图1),易证
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