简单的逻辑联结词全称量词与存在量词Word格式.docx

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短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；

含有全称量词的命题叫做全称命题．

（2）存在量词：

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；

含有存在量词的命题叫做特称命题．

1．判定全称命题为真，需证明对任意x∈M，p（x）恒成立；

判定全称命题为假，我们只需找到一个x∈M，使p（x）不成立即可．

2．判定特称命题为真，只需找到一个x∈M，使p（x）成立即可；

判定特称命题为假，需证明对任意x∈M，p（x）均不成立．

3．含有一个量词的命题的否定

命题

命题的否定

∀x∈M，p（x）

∃x0∈M，命题p（x0）

∃x0∈M，p（x0）

∀x∈M，命题p（x）

对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错．

[小题诊断]

1．命题“∃x0≤0，x≥0”的否定是（　　）

A．∀x≤0，x2＜0　　　　B．∀x≤0，x2≥0

C．∃x0＞0，x＞0D．∃x0＜0，x≤0

答案：

A

2．已知命题p：

对任意x∈R，总有|x|≥0；

q：

x＝1是方程x＋2＝0的根．

则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧命题qB．命题p∧q

C．命题p∧命题qD．p∧q

解析：

由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p是假命题，命题q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧命题q是真命题．

3．已知命题p：

“x＞3”是“x2＞9”的充要条件，命题q：

“a2＞b2”是“a＞b”的充要条件，则（　　）

A．p∨q为真B．p∧q为真

C．p真q假D．p∨q为假

由x＞3能够得出x2＞9，反之不成立，故命题p是假命题；

由a2＞b2可得|a|＞|b|，但a不一定大于b，反之也不一定成立，故命题q是假命题．所以p∨q为假．

D

4．（优质试题·

唐山模拟）已知命题p：

∃x0∈N，x＜x；

命题q：

∀a∈（0,1）∪（1，＋∞），函数f（x）＝loga（x－1）的图象过点（2,0），则（　　）

A．p假q真B．p真q假

C．p假q假D．p真q真

由x＜x，得x（x0－1）＜0，解得x0＜0或0＜x0＜1，在这个范围内没有自然数，∴命题p为假命题；

∵对任意的a∈（0,1）∪（1，＋∞），均有f

（2）＝loga1＝0，∴命题q为真命题．

5．下列四个命题：

p1：

对任意x∈R，都有2x＞0；

p2：

存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0；

p3：

对任意x∈R，都有sinx＜2x；

p4：

存在x∈R，使得cosx＞x2＋x＋1.

其中的真命题是（　　）

A．p1，p2　B．p2，p3　　C

．p3，p4　　D．p1，p4

由指数函数的性质可知p1为真命题；

∵x2＋x＋1＝2＋＞0恒成立，∴p2为假命题；

∵sin＝1＞2－，∴p3为假命题；

∵当x＝－时，cosx＞cos＝＞2＋＋1，

∴p4为真命题．故选D.

6．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，则k的取值范围是________．

“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，当k＝0时，则有－1＜0；

当k≠0时，则有k＜0且Δ＝（－k）2－4×

k×

（－1）＝k2＋4k＜0，解得－4＜k＜0，综上所述，实数k的取值范围是（－4,0]．

（－4,0]

◆易错通关◆

1．注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；

2．注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．

[小题纠偏]

1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________．

存在两个全等三角形的面积不相等

2．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，其否定为________．

若ab＝0，则a≠0且b≠0

考点一　全称命题与特称命题　自主探究　基础送分考点——自主练透

[题组练通]

1．（优质试题·

西安质检）已知命题p：

∃x0∈R，）≤0，则（　　）

∵3x＞0，∴3x＋1＞1，则log2（3x＋1）＞0，∴p是假命题：

命题p：

∀x∈R，log2（3x＋1）＞0.故应选B.

B

∀x＞0，总有（x＋1）ex＞1，则命题p为（　　）

A．∃x0≤0，使得（x0＋1）ex0≤1

B．∃x0＞0，使得（x0＋1）ex0≤1

C．∀x＞0，使得（x＋1）ex≤1

D．∀x≤0，使得（x＋1）ex≤1

由全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为“∃x0∈M，命题p（x0）”，可得命题p：

∃x0＞0，使得（x0＋1）ex0≤1.故选B.

全称命题与特称命题真假的判断方法

名称

判断方法一

判断方法二

全称

所有对象使命题真

否定为假

存在一个对象使命题假

否定为真

特称

存在一个对象使命题真

所有对象使命题假

注意　无论是全称命题还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，都可先判断其否定的真假．

考点二　含有逻辑联结词的真假判断　互动探究　重点保分考点——师生共研

[典例]　

（1）（优质试题·

高考山东卷）已知命题p：

∀x＞0，ln（x＋1）＞0；

若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧q　　　　　B．p∧命题q

C．命题p∧qD．命题p∧命题q

（2）已知命题p：

若a＜b，则ac2＜bc2；

∃x0＞0，使得x0－1－lnx0＝0，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．p∨（命题q）

C．（命题p）∧qD．（命题p）∧（命题q）

（1）∵∀x＞0，x＋1＞1，∴ln（x＋1）＞0，∴命题p为真命题；

当b＜a＜0时，a2＜b2，故命题q为假命题，由真值表可知B正确，故选B.

（2）依题意，对于p，注意到当c＝0时，ac2＝bc2，因此命题p是假命题；

对于q，注意到当x0＝1时，x0－1－lnx0＝0，因此命题q是真命题，命题命题q是假命题，p∧q是假命题，p∨（命题q）是假命题，（命题p）∧q是真命题，（命题p）∧（命题q）是假命题，综上所述，选C.

（1）B　

（2）C

判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤

（1）先判断简单命题p，q的真假．

（2）再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假.

[即时应用]

安庆模拟）设命题p：

∃x0∈（0，＋∞），x0＋＞3；

∀x∈（2，＋∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（　　）

A．p∧（命题q）B．（命题p）∧q

C．p∧qD．（命题p）∨q

对于命题p，当x0＝4时，x0＋＝＞3，故命题p为真命题；

对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈（2，＋∞），使得2x0＝x成立，故命题q为假命题，所以p∧（命题q）为真命题，故选A.

2．已知函数f（x）＝给出下列两个命题：

若m＝，则f[f（－1）]＝0；

∃m∈（－∞，0），方程f（x）＝0有解．

那么，下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．（命题p）∧q

C．p∧（命题q）D．（命题p）∧（命题q）

若m＝，则f[f（－1）]＝f＝0，故命题p为真命题．当x＜0时，f（x）＝2x＞0；

当x≥0时，若m＜0，则f（x）＝m－x2＜0.故∀m∈（－∞，0），方程f（x）＝0无解，所以命题q为假命题．所以p∧q，（命题p）∧q，（命题p）∧（命题q）为假命题，p∧（命题q）为真命题，故选C.

C

考点三　与逻辑联结词、全（特）称命题有关的参数问题　变式探究　母题变式考点——多练题型

[典例]　（优质试题·

济南模拟）给定命题p：

对任意实数x，都有ax2＋ax＋1＞0成立；

关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，若p∧q为真，则a的取值范围是________．

当p为真命题时，对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立⇔a＝0或∴0≤a＜4.

当q为真命题时，关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇔Δ＝1－4a≥0，∴a≤.

p∧q为真时，0≤a≤.

[0，]

[变式探究1]

若p∨q为真，问题不变．

由本例中知p∨q为真，分三种情况：

①p真q假；

②p假q真；

③p、q均为真，

即或或

∴a＜4.

（－∞，4）

[变式探究2]

若p∨q为真命题，p∧q为假命题，问题不变．

∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，

∴p，q一真一假．

∴若p真q假，则有0≤a＜4，且a＞，

∴＜a＜4；

若p假q真，则有

∴a＜0.

故实数a的取值范围为（－∞，0）∪.

（－∞，0）∪

根据复合命题的真假求参数范围的步骤

（1）先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围；

（2）再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况（有时不一定只有一种情况）；

（3）最后由

（2）的结论求出满足条件的参数取值范围．

设p：

实数a满足不等式3a≤9，q：

函数f（x）＝x3＋x2＋9x无极值点．

（1）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；

（2）已知“p∧q”为真命题，并记为r，且t：

a2－a＋m＞0，若r是命题t的必要不充分条件，求正整数m的值．

（1）若p为真，则3a≤9，得a≤2.

若q为真，则函数f（x）无极值点，∴f′（x）＝x2＋3（3－a）x＋9≥0恒成立，

得Δ＝9（3－a）2－4×

9≤0，解得1≤a≤5.

∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，

∴p与q只有一个命题是真命题．

若p为真命题，q为假命题，则⇒a＜1；

若q为真命题，p为假命题，则⇒2＜a≤5.

综上，实数a的取值范围为{a|a＜1或2＜a≤5}．

（2）∵“p∧q”为真命题，∴p、q都为真命题，

∴⇒1≤a≤2.

∵a2－a＋m＞0，

∴（a－m）＞0，

∴a＜m或a＞m＋，

即t：

a＜m或a＞m＋，从而命题t：

m≤a≤m＋，

∵r是命题t的必要不充分条件，∴命题t⇒r，r⇒/命题t，

∴（两个不等式不能同时取等号），

解得1≤m≤，

又∵m∈N*，∴m＝1.

课时作业

单独成册　对应学生用书第213页

A组——基础对点练

郑州模拟）命题“∃x0∈R，x－x0－1＞0”的否定是（　　）

A．∀x∈R，x2－x－1≤0

B．∀x∈R，x2－x－1＞0

C．∃x0∈R，x－x0－1≤0

D．∃x0∈R，x－x0－1≥0

依题意得，命题“∃x0∈R，x－x0－1＞0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1