高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第九节函数模型及其应用教师用书理Word格式文档下载.docx

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在（0，＋∞）上的单调性

单调递增函数

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

图象的变化

随x值增大，图象与y轴接近平行

随x值增大，图象与x轴接近平行

随n值变化而不同

2.几种常见的函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）

二次函数模型

f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）

与指数函数相关模型

f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0）

与对数函数相关模型

f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0）

与幂函数相关模型

f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0）

微点提醒

1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；

“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；

“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢。

2．充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键。

3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性。

小|题|快|练

一、走进教材

1．（必修1P59A组T6改编）某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为（　　）

A．y＝a（1＋p%）x（0<

x<

m）

B．y＝a（1＋p%）x（0≤x≤m，x∈N）

C．y＝a（1＋xp%）（0<

D．y＝a（1＋xp%）（0≤x≤m，x∈N）

【解析】　设年产量经过x年增加到y件，则第一年为y＝a（1＋p%），第二年为y＝a（1＋p%）（1＋p%）＝a（1＋p%）2，第三年为y＝a（1＋p%）（1＋p%）（1＋p%）＝a（1＋p%）3，…，则y＝a（1＋p%）x（0≤x≤m且x∈N）。

故选B。

【答案】　B

2．（必修1P107A组T1改编）在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：

x

0.50

0.99

2.01

3.98

y

－0.99

0.01

0.98

2.00

则对x，y最适合的拟合函数是（　　）

A．y＝2xB．y＝x2－1

C．y＝2x－2D．y＝log2x

【解析】　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；

根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；

将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意。

故选D。

【答案】　D

二、双基查验

1．已知f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，当x∈（4，＋∞）时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是（　　）

A．f（x）>

g（x）>

h（x）B．g（x）>

f（x）>

h（x）

C．g（x）>

h（x）>

f（x）D．f（x）>

g（x）

【解析】　由图象知，当x∈（4，＋∞）时，增长速度由大到小依次为g（x）>

h（x）。

2．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（h）的函数关系用图象表示为图中的（　　）

A.B.

C.D.

【解析】　由题意知h＝20－5t（0≤t≤4），故选B。

3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝x2＋2x＋20（万元）。

一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（　　）

A．36万件B．18万件

C．22万件D．9万件

【解析】　利润L（x）＝20x－C（x）＝－（x－18）2＋142，当x＝18万件时，L（x）有最大值。

4．某工厂采用高科技技术，在2年内产值的月增长率都是a，则这2年内第2年某月的产值比第1年相应月产值的增长率为（　　）

A．a12－1B．（1＋a）12－1

C．aD．a－1

【解析】　不妨设第1年8月份的产值为b，则9月份的产值为b（1＋a），10月份的产值为b（1＋a）2，以此类推，到第2年8月份是第1年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第2年8月份产值是b（1＋a）12。

又由增长率的概念知，这2年内的第2年某月的产值比第1年相应月产值的增长率为：

＝（1＋a）12－1。

5．一个容器装有细砂acm3，细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细砂量为y＝ae－bt（cm3），经过8min后发现容器内还有一半的砂子，则再经过________min，容器中的砂子只有开始时的八分之一。

【解析】　当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝，容器中的砂子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝（e－8b）3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min容器中的砂子只有开始时的八分之一。

【答案】　16

微考点　大课堂

考点一

用函数图象的变化刻画变化过程

【典例1】　（2016·

全国卷Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃。

下面叙述不正确的是（　　）

A．各月的平均最低气温都在0℃以上

B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D．平均最高气温高于20℃的月份有5个

【解析】　由图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；

七月的平均温差约为10℃，而一月的平均温差约为5℃，故B正确；

三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右，基本相同，C正确；

平均最高气温高于20℃的月份只有2个，D错误。

反思归纳　当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案。

【变式训练】　（2015·

北京高考）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。

下列叙述中正确的是（　　）

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时。

相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【解析】　对于A选项：

由题图可知，当乙车速度大于40km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5km，则A错；

对于B选项：

由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错；

对于C选项：

甲车以80千米/小时的速度行驶时，燃油效率为10km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×

1÷

10＝8（升），则C错；

对于D选项：

当行驶速度小于80km/h时，在相同条件下，丙车的燃油效率高于乙车，则在该市用丙车比用乙车更省油，则D对。

考点二

已知函数模型的实际问题

【典例2】　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：

千克）与销售价格x（单位：

元/千克）满足关系式y＝＋10（x－6）2。

其中3<

6，a为常数。

已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

【解析】　

（1）因为x＝5时，y＝11，

所以＋10＝11，a＝2。

（2）由

（1）可知，该商品每日的销售量

y＝＋10（x－6）2，所以商场每日销售该商品所获得的利润

f（x）＝（x－3）

＝2＋10（x－3）（x－6）2,3<

6。

从而，f′（x）＝30（x－4）（x－6）。

于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

（3,4）

4

（4,6）

f′（x）

＋

－

f（x）

极大值42

由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3,6）内的极大值点，也是最大值点。

所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42。

即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。

【答案】　

（1）2　

（2）4元/千克

反思归纳　求解已给函数模型解决实际问题的关注点：

1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数。

2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数。

3．利用该模型求解实际问题。

四川高考）某食品的保鲜时间y（单位：

小时）与储藏温度x（单位：

℃）满足函数关系y＝ekx＋b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）。

若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是______小时。

【解析】　依题意有192＝eb,48＝e22k＋b＝e22k·

eb，

所以e22k＝＝＝，所以e11k＝或－（舍去），于是该食品在33℃的保鲜时间是e33k＋b＝（e11k）3·

eb＝3×

192＝24（小时）。

【答案】　24

考点三

构建函数模型的实际问题……多维探究

角度一：

构建二次函数模型

【典例3】　某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：

万元）为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润（单位：

万元）为y2＝2x，其中x为销售量（单位：

辆），若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是（　　）

A．10.5万元　　　　　　B．11万元

C．43万元D．43.025万元

【解析】　设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车（16－x）辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2（16－x）＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1（x－）2＋0.1×

＋32。

因为x∈[0,16]，且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元。

故选C。

【答案】　C

角度二：

构建分段函数模型

【典例4】　（2017·

锦州模拟）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点。

研究表明：

“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：

千克/年）是养殖密度x（单位：

尾/立方米）的函数。

当x不超过4尾