概率论与数理统计第一章习题解答文档格式.docx

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（1）A发生，B与C都不发生。

（2）A与B都发生，而C不发生。

（3）A，B，C中至少有一个发生。

（4）A，B，C都发生。

（5）A，B，C都不发生。

（6）A，B，C中不多于一个发生。

（7）A，B，C中不多于两个发生。

（8）A，B，C中至少有两个发生。

（1）A

（2）AB（3）A∪B∪C（4）ABC

（5）（6）∪A∪B∪C

（7）S-ABC（8）ABC∪AB∪AC∪BC

3、

（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。

（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，，A∪B∪C，，C，∪C的概率。

（3）已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求P（A），（ii）若P（AB）=1/8，求P（A）。

（1）因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0。

故P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=3/4-1/8=5/8。

（2）P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=1/2+1/3-1/10=11/15,

P（）=1-P（A∪B）=4/15,

P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/20+1/30=51/60，

P（）=1-P（A∪B∪C）=3/20,

P（C）=P（）-P（）=7/60，

P（∪C）=P（）+P（C）-P（C）=4/15+1/5-7/60=7/20。

（3）（i）因为A，B互不相容，所以AB=Φ，P（AB）=0。

故P（A）=P（A）-P（AB）=1/2。

（ii）P（A）=P（A）-P（AB）=1/2-1/8=3/8。

4、设A，B为两个事件。

（1）已知A=B，验证A=B。

（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P（A）+P（B）-2P（AB）。

证明：

（1）A=A（B∪）=AB∪A=AB∪B=（A∪）B=B。

（2）因为AB=Φ，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）=P（A）-P（AB）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-2P（AB）。

5、10片药片中有5片是安慰剂。

（1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率。

（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率。

（1）p=1-/-/。

（2）p=/。

6、在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的。

（1）求最小为5的概率。

（2）求最大为5的概率。

（1）从10人中任选3人的选法有种。

要求最小为5，即有一个人的是5，其他两人的都在6到10之间。

故共有种不同的选法。

故最小为5的概率p=/。

（2）同理最大为5的概率p=/。

7、某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。

问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？

p=/。

8、在1500件产品中有400件次品、1100件正品。

任取200件。

（1）求恰有90件次品的概率。

（2）求至少有2件次品的概率。

（1）恰有90件次品的概率p=/。

（2）至少有2件次品的概率p=1-/-/。

9、从5双不同的鞋子中任取4只。

问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？

设A为事件“这4只鞋子中没有配成一双”，则事件“这4只鞋子中至少有两只配成一双”是。

从10只鞋子中任取4只有种取法，事件A的取法可以有10（第一只的取法）×

8（第二只的取法，和第一只一双的那一只也不能取了）×

6（第三只的取法）×

4（第一只的取法）。

故P（A）=16/。

P（）=1-P（A）=1-16/。

10、在11卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7，求其排列结果为ability的概率。

从11个字母中选取7个字母有种选法。

由于b和i各有两个，故排列ability共有4种不同的选法。

因此排列结果为ability的概率p=4/。

11、将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。

杯子中球的最大个数为1的概率p=/43。

杯子中球的最大个数为2的概率p=1--/43-/43。

杯子中球的最大个数为3的概率p=/43。

12、50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3只铆钉强度太弱。

每个部件用3只铆钉。

若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱。

问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

一个部件强度太弱的事件相当于从50只铆钉中随机地选出的3只铆钉恰好都是强度太弱的且装在了同一个部件上。

故p=/。

或p=/。

13、一个俱乐部有5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2名四年级学生。

（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。

（2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在的概率。

（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率=/。

（2）设事件A为“一年级有2名学生，其他年级各有一名”，事件B为“二年级有2名学生，其他年级各有一名”，事件C为“三年级有2名学生，其他年级各有一名”，事件D为“四年级有2名学生，其他年级各有一名”，。

则A，B，C，D两两不相容，且P（A）=/，P（B）=/，P（C）=/，P（D）=/，所以在其中任选5名学生，一、二、三、四年级的学生均包含在的概率=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=240/。

14、

（1）已知P（）=0.3，P（B）=0.4，P（A）=0.5，求条件概率P（B|A∪）。

（2）已知P（A）=1/4，P（B｜A）=1/3，P（A｜B）=1/2，求P（A∪B）。

（1）因为P（B|A∪）=P（B（A∪））/P（A∪），P（A∪）=P（A）+P（）-P（A）=1-P（）+1-P（B）-0.5=0.8，P（B（A∪））=P（AB）=P（A）-P（A）=0.7-0.5=0.2，所以P（B|A∪）=0.25。

（2）因为P（B｜A）=P（AB）/P（A），所以P（AB）=1/12。

又因为P（A｜B）=P（AB）/P（B），所以P（B）=1/6。

故P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=1/3。

15、掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。

16、据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：

P｛孩子得病｝=0.6，P｛母亲得病|孩子得病｝=0.5，

P｛父亲得病|母亲及孩子得病｝=0.4，

求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

设事件A为“孩子得病”，事件B为“母亲得病”，事件C为“父亲得病”，则要求的概率为P（AB）。

由已知，P（A）=0.6，P（B|A）=0.5，P（C|AB）=0.4，所以P（AB）=P（AB）P（|AB）=P（A）P（B|A）［1-P（C|AB）］=0.6×

0.5×

0.6=0.18。

17、已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样。

求下列事件的概率。

（1）两件都是正品。

（2）两件都是次品。

（3）一件是正品，一件是次品。

（4）第二次取出的是次品。

设事件A为“第一件是正品”，事件B为“第二件是正品”，则

（1）两件都是正品的概率P（AB）=/（或=P（A）P（B|A）=4/5×

7/9）。

（2）两件都是次品的概率P（）=/（或=P（）P（|）=1/5×

1/9）。

（3）一件是正品，一件是次品的概率P（A∪B）=P（A）P（|A）+P（）P（B|）=4/5×

2/9+1/5×

8/9。

（4）第二次取出的是次品的概率P（）=P（A）+P（）=P（A）P（|A）+P（）P（|）=4/5×

1/9。

18、某人忘记了的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的概率。

若已知最后一个数字是奇数，则此概率是多少？

设A表示事件“第一次拨通所需”，B表示事件“第二次拨通所需”，C表示事件“第三次拨通所需”，D表示事件“拨号不超过三次接通所需”。

则D=A∪B∪C，所以P（D）=P（A）+P（B）+P（C）=P（A）+P（）P（B|）+P（）P（C|）=P（A）+P（）P（B|）+P（）P（|）P（C|）=1/10+9/10×

1/9+9/10×

8/9×

1/8。

当已知最后一个数字是奇数时，则P（D）=1/5+4/5×

1/4+4/5×

3/4×

1/3。

19、

（1）设甲袋中装有n只白球、m只红球；

乙袋中装有N只白球、M只红球。

今从甲袋中任意取一只球放入袋中，再从乙袋中任意取一只球。

问取到白球的概率是多少？

（2）第一只盒子装有4只白球、5只红球；

第二只盒子装有5只白球、4只红球。

先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中，然后从第二个盒子中任取一只球。

求取到白球的概率。

（1）设A表示事件“从甲袋中取到的是红球”，B表示事件“从乙袋中取到的是白球”。

则P（B）=P（AB）+P（B）=+P（C）=P（A）P（B|A）+P（）P（B|）=m/（m+n）×

N/（M+N+1）+n/（m+n）×

（N+1）/（M+N+1）。

（2）设A表示事件“从第一个盒子中取到0个红球”，B表示事件“从第一个盒子中取到1个红球”，C表示事件“从第一个盒子中取到2个红球”，D表示事件“从第二个盒子中取到白球”。

则P（D）=P（AD）+P（BD）+P（CD）=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）=/×

/+/×

/。

20、某种产品的商标是“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍“MAXAM”的概率。

设A1，A2，A3，A4，A5分别为事件“脱落M、M”，“脱落A、A”，“脱落M、A”，“脱落M、X”，“脱落A、X”，。

D为事件“放回后仍为MAXAM”。

因为P（A1）=P（A2）=/，P（A3）=/，P（A4）=/，P（A5）=/，P（D|A1）=P（D|A2）=1,P（D|A3）=P（D|A4）=P（D|A5）=1/