届甘肃省兰州市第一中学高三上学期期中考试数学文试题Word文档格式.docx
《届甘肃省兰州市第一中学高三上学期期中考试数学文试题Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届甘肃省兰州市第一中学高三上学期期中考试数学文试题Word文档格式.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
A.[1，＋∞）B.（－∞，1]C.[－1，＋∞）D.（－∞，－3]
6.已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为
A.8B.12C.6D.4
7.不等式（x－2y＋1）（x＋y－3）≤0在直角坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示），应是下列图形中的
9.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为
A.B.C.2D.2
10.如果函数f（x）对任意的实数x，都有f（1＋x）＝f（－x），且当x≥时，f（x）＝log2（3x－1），那么函数f（x）
在[－2，0]上的最大值与最小值之和为
A.2B.4C.3D.－1
11.设四边形ABCD为平行四边形，，,若点M，N满足，，
则等于
A.20B.9C.15D.6
12.定义在（0，＋∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式
成立的是
A.3f
（2）＜2f（3）B.3f（4）＜4f（3）C.2f（3）＜3f（4）D.f
（2）＜2f
（1）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知复数z＝－2i，则复数虚部为_________.
14.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_________.
15.在平面直角坐标系中，O为原点，A（－1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||＝1，则
|＋＋|的最大值是________.
16.关于函数f（x）＝2（sinx－cosx）cosx有以下四个结论：
函数f（x）的最大值为；
把函数h（x）＝sin2x－1的图象向右平移个单位可得到函数f（x）的图象；
函数f（x）在区间上单调递增；
函数f（x）图象的对称中心为（k∈Z）．其中正确的结论是___________.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（一）必考题：
共60分
17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，，分别为的中点.
（1）证明:
（2）设为的中点,求三棱锥的体积.
18.（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，
且2asinA＝（2b－c）sinB＋（2c－b）sinC.
（1）求角A的大小；
（2）若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状.
19.（本小题满分12分）兰州市为争创文明城市，面向全市征召宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：
第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），
第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加
（2）在
（1）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者
介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
20.（本小题满分12分）已知椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，A，B是椭圆C上两点，
N（3，1）是线段AB的中点.
（1）求直线AB的方程；
（2）若以AB为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程.
21.（本小题满分12分）已知f（x）＝ax2（a∈R），g（x）＝2lnx.
（1）讨论函数F（x）＝f（x）－g（x）的单调性；
（2）若方程f（x）＝g（x）在区间[，e]上有两个不等的解，求a的取值范围.
（二）选考题：
共10分
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4—4；
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.
（1）求直线及圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于点.若点的坐标为（3，），求.
23.（本小题满分10分）选修4—5；
不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
兰州一中2020-2021-1学期期中考试答案
一、选择题:
本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.A2.C3.D4.C5.A6.A7.C8.D9.A10.B11.B12.A
13. ;
14.;
15.1＋;
16.
本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，，分别为的中点.
解：
（1）因为分别是的中点，所以是的中位线，所以
又因为平面，平面,所以平面..................6分
（2）因为高，，..................12分
18.（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b－c）sinB＋（2c－b）sinC.
解
（1）由2asinA＝（2b－c）sinB＋（2c－b）sinC，
得2a2＝（2b－c）b＋（2c－b）c，即bc＝b2＋c2－a2，
∴cosA＝＝，∵0°
＜A＜180°
，∴A＝60°
...................6分
（2）∵A＋B＋C＝180°
，∴B＋C＝180°
－60°
＝120°
.
由sinB＋sinC＝，得sinB＋sin（120°
－B）＝，
∴sinB＋sin120°
cosB－cos120°
sinB＝.
∴sinB＋cosB＝，即sin（B＋30°
）＝1.
∵0°
<
B<
120°
，∴30°
B＋30°
150°
.∴B＋30°
＝90°
，
B＝60°
.∴A＝B＝C＝60°
，△ABC为等边三角形...................12分
19．（本小题满分12分）兰州市为争创文明城市，面向全市征召宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：
第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.
（3）在
（1）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者
（1）第3组的人数为0.06×
5×
100＝30，
第4组的人数为0.04×
100＝20，
第5组的人数为0.02×
100＝10，
∵第3，4，5组共有60名志愿者，
∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：
第3组：
×
6＝3；
第4组：
6＝2；
第5组：
6＝1；
即应从第3，4，5组中分别抽取3名，2名，1名志愿者.
（2）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），
（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），
（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），
（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有15种.
其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有9种，∴第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为＝.
20．（本小题12分）已知椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，A，B是椭圆C上两点，N（3，1）是线段AB的中点.
（1）离心率e＝，设椭圆C：
x2＋3y2＝a2（a＞0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意，设直线AB的方程为y＝k（x－3）＋1，代入x2＋3y2＝a2，
整理得（3k2＋1）x2－6k（3k－1）x＋3（3k－1）2－a2＝0.①
Δ＝4[a2（3k2＋1）－3（3k－1）2]＞0，②且x1＋x2＝，
由N（3，1）是线段AB的中点，得＝3.
解得k＝－1，代入②得a2＞12，直线AB的方程为y－1＝－（x－3），即x＋y－4＝0.
（2）圆心N（3，1）到直线的距离,.
当时方程即
，解得.
椭圆方程为.
21.（本小题满分12分）已知f（x）＝ax2（a∈R），g（x）＝2lnx.
（2）若方程f（x）＝g（x）在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围.
解
（1）F（x）＝ax2－2lnx，其定义域为（0，＋∞），
∴F′（x）＝2ax－＝（x>
0）................2分
①当a>
0时，由ax2－1>
0，得x>
由ax2－1<
0，得0<
x<
故当a>
0时，F（x）在区间上单调递增，...............4分
在区间上单调递减.
②当a≤0时，F′（x）<
0（x>
0）恒成立.
故当a≤0时，F（x）在（0，＋∞）上单调递减...............6分
（2）原式等价于方程a＝＝φ（x）在区间[，e]上有两个不等解.
由φ′（x）＝易知，
φ（x）在（，）上为增函数，
在（，e）上为减函数，
则φ（x）max＝φ（）＝，
而φ（e）＝<
＝＝φ（）.
所以φ（x）min＝φ（e），
如图可知φ（x）＝a有两个不等解时，需≤a＜.
即f（x）＝g（x）.在[，e]上有两个不等解时a的取值范围为≤a＜................12分
升级会员 