简单的线性规划问题Word格式.docx

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[点评]　可用B值判断法来求解，若B>

0，令d＝B（Ax0＋By0＋C），则d>

0⇔点P（x0，y0）在直线Ax＋By＋C＝0的上方；

d<

0⇔点P（x0，y0）在直线Ax＋By＋C＝0的下方．

2．设变量x、y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为（　C　）

A．－2B．4C．6D．8

[解析]　

3.若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为（　C　）

A．－1　　　B．0　　　　C．3　　　　D．4

[解析]　作出可行域如图，作直线l0：

2x－y＝0，平移l0当平移到经过点A（2,1）时，zmax＝3.

4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为（　D　）A．－4B．0C.D．4

该线性约束条件所代表的平面区域如图，易解得A（1,3），B（1，），C（2,2），由z＝3x－y得y＝3x－z，由图可知当x＝2，y＝2时，z取得最大值，即z最大＝3×

2－2＝4.故选D.

5．已知x，y满足不等式组目标函数z＝ax＋y只在点（1,1）处取最小值，则有（　D　）A．a>

1B．a>

－1C．a<

1D．a<

－1

[解析]　作出可行域如图阴影部分所示．

由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.只在点（1,1）处z取得最小值，则斜率－a>

1，

故a<

－1，故选D.

6．已知约束条件若目标函数z＝x＋ay（a≥0）恰好在点（2,2）处取得最大值，则a的取值范围为（　C　）A．0<

a<

B．a≥C．a>

D．0<

[解析]　作出可行域如图，

∵目标函数z＝x＋ay恰好在点A（2,2）处取得最大值，故－>

－3，∴a>

.

★7.若2x＋4y<

4，则点（x，y）必在（　D　）

A．直线x＋y－2＝0的左下方B．直线x＋y－2＝0的右上方

C．直线x＋2y－2＝0的右上方D．直线x＋2y－2＝0的左下方

[解析]　∵2x＋4y≥2，由条件2x＋4y<

4知，

2<

4，∴x＋2y<

2，即x＋2y－2<

0，故选D.

★8．设O为坐标原点，点M的坐标为（2,1），若点N（x，y）满足不等式组则使·

取得最大值的点N的个数是（　D　）A．1B．2C．3D．无数个

[分析]　点N（x，y）在不等式表示的平面区域之内，U＝·

为x，y的一次表达式，则问题即是当点N在平面区域内变化时，求U取到最大值时，点N的个数．

[解析]　如图所示，可行域为图中阴影部分，而·

＝2x＋y，所以目标函数为z＝2x＋y，作出直线l：

2x＋y＝0，显然它与直线2x＋y－12＝0平行，平移直线l到直线2x＋y

－12＝0的位置时目标函数取得最大值，故2x＋y－12＝0上每一点都能使目标函数取得最大值，故选D.

9．设不等式组所表示的平面区域为S，若A、B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为（B）A．2B.C．3D.

[解析]　在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形观察不难得知，

位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是（0,3）与（2,0），因此|AB|的最大值是，选B.

10.若直线y＝2x上存在点（x，y）满足约束条件则实数m的最大值为（　B　）A．－1B．1C.D．2

[解析]　本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思想解决问题的能力．

由约束条件作出其可行域，如图

由图可知当直线x＝m过点P时，m取得最大值，

由得，∴P（1,2），此时x＝m＝1.

[点评]　对于可行域中含有参数的情形，不妨先取特殊值来帮助分析思路．

★11.设实数x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by（a>

0，b>

0）的最大值为12，则＋的最小值为（A）A.B.C.D．4

[解析]　由可行域可得，当x＝4，y＝6时，目标函数z＝ax＋by取得最大值，∴4a＋6b＝12，即＋＝1，

∴＋＝（＋）·

（＋）＝＋＋≥＋2＝，故选A.

12．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（　D　）A．（0,1）B．（1,2）C．[2,4]D．[2，＋∞）

[解析]　作出可行区域，如图，由题可知点（2，a2）应在点（2,4）的上方或与其重合，故a2≥4，∴a≥2或a≤－2，又a>

0且a≠1，∴a≥2.

★13．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（　B　）A.B.C.D．2

[解析]　不等式组的图形如图．

解得：

A（0,1）　D（0，－1）　B（－1，－2）　C（，－）

S△ABC＝×

|AD|×

|xC－xB|＝×

2×

（＋1）

＝，故选B.

★14．已知动点P（x，y）在正六边形的阴影部分（含边界）内运动，如图，正六边形边长为2，若使目标函数z＝kx＋y（k>

0）取得最大值的最优解有无穷多个，则k值为（A）A.B.C.D．4

[解析]　由题可知，当x＝0时，z＝kx＋y＝y，因此要使目标函数z＝kx＋y（k>

0）取得最大值，则相应直线经过题中的平面区域内的点时，相应直线在y轴上的截距最大．由目标函数z＝kx＋y（k>

0）取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx＋y＝0的倾斜角为120°

，于是有－k＝tan120°

＝－，k＝，选A.

★15．在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点（即坐标均为整数的点）的总数为（　

B　）A．95　B．91　C．88　D．75

由2x＋3y＝30知，

y＝0时，0≤x≤15，有16个；

y＝1时，0≤x≤13；

y＝2时，0≤x≤12；

y＝3时，0≤x≤10；

y＝4时，0≤x≤9；

y＝5时，0≤x≤7；

y＝6时，0≤x≤6；

y＝7时，0≤x≤4；

y＝8时，0≤x≤3；

y＝9时，0≤x≤1，y＝10时，x＝0.

∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．

16．已知不等式组表示的平面区域S的面积为4，点P（x，y）∈S，则z＝2x＋y的最大值为___6_____．

[解析]　由题意知∴a＝2，

易得z＝2x＋y的最大值为6.

★17.若由不等式组（n>

0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m＝__－.

[解析]　根据题意，三角形的外接圆圆心在x轴上，

∴OA为外接圆的直径，

∴直线x＝my＋n与x－y＝0垂直，

∴×

＝－1，即m＝－.

18．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋y的最大值为_11_____　

如图，满足条件的可行域为三角形区域（图中阴影部分），故z＝4x＋y在P（2,3）处取得最大值，最大值为11.

19．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：

a

b（万吨）

c（百万元）

A

50%

1

3

B

70%

0.5

6

某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO2的排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为___15_____（百万元）．

[解析]　设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，则根据题意得到约束条件为：

目标函数为z＝3x＋6y，当目标函数经过（1,2）点时目标函数取得最小值，最小值为：

zmin＝3×

1＋6×

2＝15.

20．某单位投资生产A产品时，每生产1百吨需要资金2百万元，需场地2百平方米，可获利润3百万元；

投资生产B产品时，每生产1百米需要资金3百万元，需场地1百平方米，可获利润2百万元．现该单位有可使用资金14百万元，场地9百平方米，如果利用这些资金和场地用来生产A、B两种产品，那么分别生产A、B两种产品各多少时，可获得最大利润？

最大利润是多少？

[解析]　设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，共获得利润S百万元，则目标函数为S＝3x＋2y.

作出可行域如图，

由解得直线2x＋y＝9和2x＋3y＝14的交点为A，平移直线y＝－x＋，当它经过点A时，直线y＝－x＋在y轴上截距最大，S也最大．此时，S＝3×

＋2×

＝14.75.

因此，生产A产品3.25百吨，生产B产品2.5百米，可获得最大利润，最大利润为1475万元

★21.北京某商厦计划同时出售新款空调和洗衣机，由于这两种产品的市场需求量大，供不应求，因此该商厦要根据实际情况（如成本、工资）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，通过调查，得到这两种产品的有关数据如下表：

资金

单位产品所需资金（百元）

月资金供应量（百元）

洗衣机

空调

成本

20

30

300

工资

10

5

110

单位利润

8

试问：

怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润刘多少？

正解：

设空调、洗衣机的月供应量分别为x、y，总利润是p，那么满足条件：

10．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；

进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？

[解析]　设稳健型投资x份，进取型投资y份，利润总额为z（单位：

10万元，则目标函数为z＝x＋1.5y（单位：

10万元），线性约束条件为：

即

作出可行域如图，解方程组

得交点M（4,2），作直线l0：

x＋1.5y＝0，平移l0，当平移后的直线过点M时，z取最大值：

zmax＝（4＋3）×

10万元＝70万元．

答：

稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多.

（理）（2012·

辽宁文，9）设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为（　　）

A．20B．35

C．45D．55

[答案]　D

[解析]　本题考查线性规划的知识．

作出可行域如图所示：

令z＝2x＋3y，则y＝－x＋z.

要使z取得最大值，

需直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，移动l0：

y＝－x

当l0过点C（5,15）时，z取最大值zmax＝55.

解线性规划问题，准确作出可行域是关键，同时还要注意目标函数z＝2x＋3y与z＝2x－3y最优解是不同的．

13．（文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3t，B原料2t；

生产每吨乙产品要用A原料1t，B原料3t，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗