集合111讲义Word文档格式.docx

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互异性.

3.集合的表示方法:

列举法;

描述法;

Venn图.

4.集合的分类:

有限集;

无限集;

空集.

5.常用数集及其记法:

自然数集记作,正整数集记作或,整数集记作,有理数集记作,实数集记作.

二、同步题型分析

1．1集合的含义与表示

1．集合的含义

观察下列对象：

（1）1～20以内所有的质数；

（2）我国从1991～2010年的20年内所发射的所有人造卫星；

（3）曙光汽车集团2010年生产的所有汽车；

（4）2010年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；

（5）所有的正方形；

（6）到直线l的距离等于定长d的所有的点；

（7）方程x2+3x－2=0的所有实数根；

（8）杭州二中2010年9月入学的高一学生的全体．

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）．我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．

2．集合元素的三个特征

（1）确定性

给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．

（2）互异性

一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．

（3）无序性

集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．

3．元素与集合的关系

如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作aA；

如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA．

4．常用数集及其记法：

集合

非负整数（自然数集）

正整数集

整数集

有理数集

实数集

记号

N

N*或N＋

Z

Q

R

【例1】下面的各组对象能否构成集合？

（1）所有的好人；

（2）小于2010的数；

（3）和2010非常接近的数．

（4）某班所有高个子的同学;

（5）不等式的整数解;

（6）所有大于0的负数;

（7）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.

【例2】用符号“”或“”填空：

（1）3.14__________Q；

（2）__________Q；

（3）0__________N*；

（4）0_________N；

（5）（－2）0________N*；

（6）2________Z；

（7）2________Q；

（8）2________R．

【例3】若xR，则｛3，x，x2－2x｝中的元素x应满足什么条件？

5．集合的表示方法

（1）列举法

把集合的元素一一列举出来，并用大括号“｛｝”括起来表示集合的方法称为列举法．列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数．

使用列举法必须注意：

①元素间用“，”分隔；

②集合中元素必须满足三个特性；

③对于含有有限个元素且个数较少的集合采取该方法较适宜，若元素个数较多或无限个且构成集合的这些元素有明显规律，也可用列举法，但必须把元素规律显示清楚后才能用省略号，如不超过1000的正整数构成的集合可表示为｛1，2，3，…，1000｝．

（2）描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法是：

在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．它的形式为｛pD|p适合的条件｝，其中p叫做代表元素，D为p的限制范围，其含义为所有适合该条件的对象构成的集合．如果从上下文的关系来看，pD是明确的，那么pD可以省略，只写其元素p．例如A=｛xR|1≤x＜2｝也可表示为A=｛x|1≤x＜2｝；

B=｛xZ|x=3k－1，kZ｝也可表示为B=｛x|x=3k－1，kZ｝．

描述法的语言形式有三种：

文字语言、符号语言、图形语言．如表示直线y=x上所有的点组成的集合，可用下列三种形式表示：

①文字语言形式：

直线y=x上所有点组成的集合；

②符号语言形式：

｛（x，y）|y=x｝；

③图形语言形式：

在平面直角坐标系内画出I、III象限角平分线．

使用描述法必须注意：

①应写清该集合中元素的代表符号．如集合{x|x≥2}不能写成{x≥2}，这里便少了代表元．又如集合{（x，y）|y=x2}与集合{y|y=x2}便表示两个不同的集合，前者为点集，而后者为数集，区别就在于它们的代表元不同．

②准确说明该集合中元素的特性．

③应对代表元素进行说明．如下列表示方法便是错误的：

{（x，y）|（1，2）}，事实上它应表示为{（x，y）|x=1，y=2}或表示为｛（1，2）｝．

6．有限集与无限集

（1）有限集：

集合中的元素个数是有限个的，如集合A=｛－1，2，4｝，是含有3个元素的有限集．

（2）无限集：

集合中的元素个数是无限个的，如集合A={xR|1≤x＜2}，便是一个无限集．

【例4】把下列集合用另一种形式表示出来：

（1）｛1，5｝；

（2）｛x|x2+x－1=0｝；

（3）｛2，4，6，8｝；

（4）｛xN|3＜x＜7｝．

[归纳反思]

1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；

2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。

这是解决有关集合问题的一种重要方法；

3．确定的对象才能构成集合.可依据对象的特点或个数的多少来表示集合,如个数较少的有限集合可采用列举法,而其它的一般采用描述法.

4.要特别注意数学语言、符号的规范使用.

三、课堂达标检测

练习题一

1．用符号“”或“”填空：

（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国___A，美国____A，印度____A，英国_____A；

（2）若A=｛方程x2=1的解｝，则－1________A；

（3）若B=｛方程x2+x－6=0的解｝，则3________B；

（4）若C=｛满足1≤x≤10的自然数｝，则8________C，9.1________C．

2．下列各组对象不能形成集合的是

A．大于6的所有整数B．高中数学的所有难题

C．被3除余2的所有整数D．函数y=图象上所有的点

3．M=｛a，b，c｝中的三个元素可构成某一个三角形的三边长，那么此三角形一定不是

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

4．方程ax2+5x+c=0的解集是｛，｝，则a________，c________．

5．含有三个实数的集合可表示为｛a，，1｝，也可表示为｛a2，a+b，0｝，则a2009+b2010的值为________．

6．若－3｛a－3，2a+1，a2+1｝，求实数a的值．

7．设a、b为整数，把形如a+b的一切数构成的集合记为M，设xM，yM，试判断x+y，x－y，xy是否属于M，说明理由．

8．用列举法表示集合｛（x，y）|x+y=3，x，yN｝．

9．用描述法表示集合｛1，，，｝．

10．方程组的解集是

A．｛x=0，y=1｝B．｛0，1｝

C．｛（0，1）｝D．｛（x，y）|x=0或y=1｝

11．M=｛m|m=2k，kZ｝，X=｛x|x=2k+1，kZ｝，Y=｛y|y=4k+1，kZ｝，则

A．x+yMB．x+yXC．x+yYD．x+yM

12．下列各小题中，分别指出了一个集合的所有元素，用适当的方法把这个集合表示出来，然后说出它是有限集还是无限集：

（1）组成中国国旗图案的颜色；

（2）世界上最高的山峰；

（3）由1、2、3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；

（4）平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有的点P．

练习题二

1．已知下列条件：

①小于60的全体有理数；

②某校高一年级的所有学生；

③与2相差很小的数；

④方程=4的所有解。

其中不可以表示集合的有--------------------（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．下列关系中表述正确的是-----------------------------------------（）

A．B．C．D．

3．下列表述中正确的是----------------------------------------------（）

A．B．C．D．

4．已知集合A=，若是集合A的一个元素，则的取值是（）

A．0B．-1C．1D．2

5．方程组的解的集合是---------------------------------------（）

A．B．C．D．

6．用列举法表示不等式组的整数解集合为：

7．设，则集合中所有元素的和为：

8、用列举法表示下列集合：

⑴

⑵

9．已知A={1，2，x2－5x＋9}，B={3，x2＋ax＋a}，如果A={1，2，3}，2∈B，求实数a的值.

10.设集合，集合，

集合，试用列举法分别写出集合A、B、C.

练习题2答案

1．A2.D3.B4.B5.C6.7.

8.⑴;

⑵;

9.a=或.

10.;

;

状元智慧树（思维导图）：

课后作业

一、选择题：

1.下列说法中正确的是（）

A．2008年北京奥运会的所有比赛项目组成一个集合

B．某个班年龄较小的学生组成一个集合

C．1、2、3组成的集合与2、1、3组成的集合是不同的两个集合

D.组成的集合有四个元素

2.下列说法中

①集合N与集合N+是同一个集合；

②集合N中的元素都是集合Z中的元素；

③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；

④集合Q中的元素都是集合R中的元素。

其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3.下列条件中，能构成集合的是（）

A．世界著名的化学家

B．在数轴上与原点非常接近的点

C．所有的等腰三角形

D．全年级成绩优秀的学生

4.由实数x，-x，|x|，，所组成的集合，最多含（）

A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素

5.若，则x的值为（）

A.-2B.1C.1或-2D.-1或2

6.已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是（）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

7.设a、b、c是非零的实数，则的值所组成的集合为 

（ 

）

A. 

B.

C.D.

二、填空题：

8.用符号“”，“”填空

①0N，-1N，N，N

②Z，Q，πQ

③5Z，-11Q，R

9.集合与集合是否表示同一集合？

集合与集合是否表示同一集合？

（填“是”或“不是”）

10.对于集合，若，则，那么的值是

三．解答题

11.由0,1,4组成的集合用A表示，由1，4，组成的集合用B表示，已知集合A=B，求。

12.设集合A的元素为实数，且满足

。

求当2∈A时，A中的其他元素。

13.若，求的值。

14．已知，且，求a的值。

15.设A表示集合，B表示集合若已知，且，求实数的值。

（实验）16．设，当时，对应值的集合为.