第3讲 二次函数的图象与性质满分班Word下载.docx
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故答案为:
2.
3.(2018•曲靖一模)若函数y=(m2﹣m)x是二次函数,则m=_____.
由题意,得m2+m=2且m2﹣m≠0,
解得m=﹣2.
﹣2.
4.(2018•相山区二模)已知函数y=(m2﹣m)x2+(m﹣1)x+m+1.
(1)若这个函数是一次函数,求m的值;
(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?
依题意得
∴
∴m=0;
(2)依题意得m2﹣m≠0,
∴m≠0且m≠1.
3.2二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
①;
②;
③;
④,
其中;
⑤.(以上式子a≠0)
几种特殊的二次函数的图象特征如下:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
开口向下
(轴)
(0,0)
(0,)
(,0)
(,)
()
2.抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向:
当时,开口向上;
当时,开口向下;
相等,抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地,轴记作直线.
1.(2018•宁波)如图,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为﹣1,则一次函数y=(a﹣b)x+b的图象大致是( )
A.B.C.D.
由二次函数的图象可知,
a<0,b<0,
当x=﹣1时,y=a﹣b<0,
∴y=(a﹣b)x+b的图象在第二、三、四象限,
D.
2.(2018•德州)如图,函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A、由一次函数y=ax﹣a的图象可得:
a<0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下,故选项错误;
B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得:
a>0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=﹣>0,故选项正确;
C、由一次函数y=ax﹣a的图象可得:
a>0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=﹣>0,和x轴的正半轴相交,故选项错误;
D、由一次函数y=ax﹣a的图象可得:
a>0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上,故选项错误.
3.(2018•贵阳模拟)如图,在平面直角坐标系中,有两条位置确定的抛物线,它们的对称轴相同,表达式中的h,k,m,n都是常数,则下列关系不正确的是( )
A.h<0,k>0B.m<0,n>0C.h=mD.k=n
根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为(h,k),(m,n),对称轴都是直线x=m或x=h,
即h<0,k>0,m<0,n>0,m=h,
因为点(h,k)在点(m,n)的下方,所以k=n不正确.
5.(2017秋•门头沟区期末)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示.
(1)求二次函数的表达式;
(2)函数图象上有两点P(x1,y),Q(x2,y),且满足x1<x2,结合函数图象回答问题;
①当y=3时,直接写出x2﹣x1的值;
②当2≤x2﹣x1≤3,求y的取值范围.
(1)由图象知抛物线与x轴交于点(1,0)、(3,0),与y轴的交点为(0,3),
设抛物线解析式为y=a(x﹣1)(x﹣3),
将(0,3)代入,得:
3a=3,
解得:
a=1,
∴抛物线解析式为y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3;
(2)①当y=3时,x2﹣4x+3=3,
x1=0,x2=4,
∴x2﹣x1=4;
②当x2﹣x1=3时,易知x1=,此时y=﹣2+3=
观察图象可知当2≤x2﹣x1≤3,求y的取值范围0≤y≤.
6.(2017秋•余杭区期末)已知二次函数y=x2+2bx+c
(1)若b=c,是否存在实数x,使得相应的y的值为1?
请说明理由;
(2)若b=c﹣2,y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3,求b的值.
(1)由y=1得x2+2bx+c=1,
∴x2+2bx+c﹣1=0
∵△=4b2﹣4b+4=(2b﹣1)2+3>0,
则存在两个实数,使得相应的y=1;
(2)由b=c﹣2,则抛物线可化为y=x2+2bx+b+2,其对称轴为x=﹣b,
①当x=﹣b≤﹣2时,则有抛物线在x=﹣2时取最小值为﹣3,此时
﹣3=(﹣2)2+2×
(﹣2)b+b+2,解得b=3;
②当x=﹣b≥2时,则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3,此时
﹣3=22+2×
2b+b+2,解得b=﹣,不合题意,舍去,
③当﹣2<﹣b<2时,则=﹣3,化简得:
b2﹣b﹣5=0,解得:
b1=(不合题意,舍去),b2=.
综上:
b=3或.
3.3二次函数的解析式
(1)一般式:
(a≠0).已知图象上三点或三对、的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:
(a≠0).已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”:
已知图象与轴的交点坐标、,通常选用交点式:
(a≠0).(由此得根与系数的关系:
).
求抛物线(a≠0)的对称轴和顶点坐标通常用三种方法:
配方法、公式法、代入法,这三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用.
1.(2017秋•宁阳县期末)一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(﹣1,3),则该抛物线的解析式为_______.
由题意可知:
该抛物线的解析式为y=﹣2(x﹣h)2+k,
又∵顶点坐标(﹣1,3),
∴y=﹣2(x+1)2+3,
y=﹣2(x+1)2+3.
2.(2018•合肥模拟)下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值:
x
…
﹣2
﹣1
1
2
3
﹣x2+bx+c
5
n
c
﹣3
﹣10
(1)根据表格中的数据,确定b,c,n的值;
(2)设y=﹣x2+bx+c,直接写出0≤x≤2时y的最大值.
(1)根据表格数据可得,解得,
∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5,
当x=﹣1时,﹣x2﹣2x+5=6,即n=6;
(2)根据表中数据得当0≤x≤2时,y的最大值是5.
3.(2018•宝山区一模)如图,在直角坐标系中,已知直线y=x+4与y轴交于A点,与x轴交于B点,C点坐标为(﹣2,0).
(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)如果M为抛物线的顶点,联结AM、BM,求四边形AOBM的面积.
(1)当x=0时,y=x+4=4,则A(0,4),
当y=0时,x+4=0,解得x=8,则B(8,0),
设抛物线解析式为y=a(x+2)(x﹣8),
把A(0,4)代入得a•2•(﹣8)=4,解得a=﹣,
∴抛物线解析式为y=﹣(x+2)(x﹣8),
即y=﹣x2+x+4;
(2)∵y=﹣(x﹣3)2+,
∴M(3,),
作MD⊥x轴于D,如图,
四边形AOBM的面积=S梯形AODM+S△BDM
=×
(4+)×
3+×
5×
=31.
4.(2018•西湖区一模)二次函数y=(m+1)x2﹣2(m+1)x﹣m+3.
(1)求该二次函数的对称轴;
(2)过动点C(0,n)作直线l⊥y轴,当直线l与抛物线只有一个公共点时,求n关于m的函数表达式;
(3)若对于每一个给定的x值,它所对应的函数值都不大于6,求整数m.
(1)∵y=(m+1)x2﹣2(m+1)x﹣m+3,
∴对称轴方程为x=﹣=1.
(2)∵y=(m+1)x2﹣2(m+1)x﹣m+3=(m+1)(x﹣1)2﹣2m+2,
由题意知直线l的解析式为y=n,
∵直线l与抛物线只有一个公共点,
∴n=﹣2m+2;
(3)抛物线y=(m+1)x2﹣2(m+1)x﹣m+3的顶点坐标是(1,﹣2m+2).
依题可得,
解得﹣2≤m<﹣1,
∴整数m的值为﹣2.
5.(2018•滨湖区模拟)将两个全等的矩形AOCD和矩形ABEF放置在如图所示的平面直角坐标系中,已知A(0,5),边BE交边CD于M,且ME=2,CM=4.
(1)求AD的长;
(2)求经过A、B、D三点的抛物线解析式.
(1)如图1,连接AM,设OC=AD=m,
根据已知条件可知,AB=CD=OA=5,BE=OC=m,
所以,BM=m﹣2,DM=1,
因为AB2+BM2=AD2+DM2,
所以52+(m﹣2)2=m2+12,
解得m=7,即AD=7;
(2)如图2,过点B作x轴的平行线GH,交OA、CD于G、H,
由
(1)可知AB=BM=5,设G(0,n),
易证△ABG≌△BMH,
则HC=OG=n,所以GB=MH=4﹣n,BH=AG=5﹣n,
因为GH=GB+BH=9﹣2n,GH=OC=7,
所以n=1,所以B(3,1),
又因为D(7,5),A(0,5),
设经过A、B、D三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
则,解得,
从而抛物线为y=x2﹣x+5.