第3讲 二次函数的图象与性质满分班Word下载.docx

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故答案为：

2．

3．（2018•曲靖一模）若函数y=（m2﹣m）x是二次函数，则m=_____．

由题意，得m2+m=2且m2﹣m≠0，

解得m=﹣2．

﹣2．

4．（2018•相山区二模）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．

（1）若这个函数是一次函数，求m的值；

（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

依题意得

∴

∴m=0；

（2）依题意得m2﹣m≠0，

∴m≠0且m≠1．

3.2二次函数的图象与性质

1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

　　①；

②；

③；

④，

　　其中；

⑤.（以上式子a≠0）

　　几种特殊的二次函数的图象特征如下：

函数解析式

开口方向

对称轴

顶点坐标

当时

开口向上

开口向下

（轴）

（0，0）

（0，）

（，0）

（，）

（）

2.抛物线的三要素：

　　开口方向、对称轴、顶点.

（1）的符号决定抛物线的开口方向：

当时，开口向上；

当时，开口向下；

相等，抛物线的开口大小、形状相同.

（2）平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.

1．（2018•宁波）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（　　）

A．B．C．D．

由二次函数的图象可知，

a＜0，b＜0，

当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，

∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，

D．

2．（2018•德州）如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）

A、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：

a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；

B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：

a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；

C、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：

a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；

D、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：

a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．

3．（2018•贵阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，表达式中的h，k，m，n都是常数，则下列关系不正确的是（　　）

A．h＜0，k＞0B．m＜0，n＞0C．h=mD．k=n

根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），对称轴都是直线x=m或x=h，

即h＜0，k＞0，m＜0，n＞0，m=h，

因为点（h，k）在点（m，n）的下方，所以k=n不正确．

5．（2017秋•门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示．

（1）求二次函数的表达式；

（2）函数图象上有两点P（x1，y），Q（x2，y），且满足x1＜x2，结合函数图象回答问题；

①当y=3时，直接写出x2﹣x1的值；

②当2≤x2﹣x1≤3，求y的取值范围．

（1）由图象知抛物线与x轴交于点（1，0）、（3，0），与y轴的交点为（0，3），

设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），

将（0，3）代入，得：

3a=3，

解得：

a=1，

∴抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；

（2）①当y=3时，x2﹣4x+3=3，

x1=0，x2=4，

∴x2﹣x1=4；

②当x2﹣x1=3时，易知x1=，此时y=﹣2+3=

观察图象可知当2≤x2﹣x1≤3，求y的取值范围0≤y≤．

6．（2017秋•余杭区期末）已知二次函数y=x2+2bx+c

（1）若b=c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？

请说明理由；

（2）若b=c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．

（1）由y=1得x2+2bx+c=1，

∴x2+2bx+c﹣1=0

∵△=4b2﹣4b+4=（2b﹣1）2+3＞0，

则存在两个实数，使得相应的y=1；

（2）由b=c﹣2，则抛物线可化为y=x2+2bx+b+2，其对称轴为x=﹣b，

①当x=﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x=﹣2时取最小值为﹣3，此时

﹣3=（﹣2）2+2×

（﹣2）b+b+2，解得b=3；

②当x=﹣b≥2时，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时

﹣3=22+2×

2b+b+2，解得b=﹣，不合题意，舍去，

③当﹣2＜﹣b＜2时，则=﹣3，化简得：

b2﹣b﹣5=0，解得：

b1=（不合题意，舍去），b2=．

综上：

b=3或．

3.3二次函数的解析式

（1）一般式：

（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：

（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

　　（可以看成的图象平移后所对应的函数.）

　　（3）“交点式”：

已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：

　　　（a≠0）.（由此得根与系数的关系：

）.

求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：

配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

1．（2017秋•宁阳县期末）一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为_______．

由题意可知：

该抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣h）2+k，

又∵顶点坐标（﹣1，3），

∴y=﹣2（x+1）2+3，

y=﹣2（x+1）2+3．

2．（2018•合肥模拟）下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：

x

…

﹣2

﹣1

1

2

3

﹣x2+bx+c

5

n

c

﹣3

﹣10

（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；

（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．

（1）根据表格数据可得，解得，

∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，

当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；

（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．

3．（2018•宝山区一模）如图，在直角坐标系中，已知直线y=x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（﹣2，0）．

（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）如果M为抛物线的顶点，联结AM、BM，求四边形AOBM的面积．

（1）当x=0时，y=x+4=4，则A（0，4），

当y=0时，x+4=0，解得x=8，则B（8，0），

设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣8），

把A（0，4）代入得a•2•（﹣8）=4，解得a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣8），

即y=﹣x2+x+4；

（2）∵y=﹣（x﹣3）2+，

∴M（3，），

作MD⊥x轴于D，如图，

四边形AOBM的面积=S梯形AODM+S△BDM

=×

（4+）×

3+×

5×

=31．

4．（2018•西湖区一模）二次函数y=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣m+3．

（1）求该二次函数的对称轴；

（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴，当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于m的函数表达式；

（3）若对于每一个给定的x值，它所对应的函数值都不大于6，求整数m．

（1）∵y=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣m+3，

∴对称轴方程为x=﹣=1．

（2）∵y=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣m+3=（m+1）（x﹣1）2﹣2m+2，

由题意知直线l的解析式为y=n，

∵直线l与抛物线只有一个公共点，

∴n=﹣2m+2；

（3）抛物线y=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣m+3的顶点坐标是（1，﹣2m+2）．

依题可得，

解得﹣2≤m＜﹣1，

∴整数m的值为﹣2．

5．（2018•滨湖区模拟）将两个全等的矩形AOCD和矩形ABEF放置在如图所示的平面直角坐标系中，已知A（0，5），边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4．

（1）求AD的长；

（2）求经过A、B、D三点的抛物线解析式．

（1）如图1，连接AM，设OC=AD=m，

根据已知条件可知，AB=CD=OA=5，BE=OC=m，

所以，BM=m﹣2，DM=1，

因为AB2+BM2=AD2+DM2，

所以52+（m﹣2）2=m2+12，

解得m=7，即AD=7；

（2）如图2，过点B作x轴的平行线GH，交OA、CD于G、H，

由

（1）可知AB=BM=5，设G（0，n），

易证△ABG≌△BMH，

则HC=OG=n，所以GB=MH=4﹣n，BH=AG=5﹣n，

因为GH=GB+BH=9﹣2n，GH=OC=7，

所以n=1，所以B（3，1），

又因为D（7，5），A（0，5），

设经过A、B、D三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

则，解得，

从而抛物线为y=x2﹣x+5．