高等数学 复旦大学出版社 课后习题答案Word格式文档下载.docx

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6.解:

7.证:

由解得,

故函数的反函数是,这与是同一个函数,所以和互为反函数.

8.解:

（1）由解得,

所以函数的反函数为.

（2）由得,

所以,函数的反函数为.

（3）由解得

（4）由得,又,故.

又由得,

即,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数的反函数为.

9.解:

（1）

是偶函数.

（2）

函数是奇函数.

10.解:

（1）函数的定义域为（-∞,+∞）,当时,有,当时,有,

故有.即函数有上界.

又因为函数为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数有界.

又由知,当且时,,而

当且时,.

故函数在定义域内不单调.

（2）函数的定义域为（0,+∞）,

且,使.

取,则有,

所以函数在定义域内是无界的.

又当时,有

故.

即当时,恒有,所以函数在内单调递增.

11.解:

（1）是由复合而成.

（2）是由复合而成.

（3）是由复合而成.

（4）是由复合而成.

12.证:

（1）设,则,

有

故为偶函数.

（2）设则,

故为奇函数.

13.解:

设年销售批数为x,则准备费为103x;

又每批有产品件,库存数为件,库存费为元.

设总费用为,则.

14.解:

当x能被20整除,即时,邮资;

当x不能被20整除时,即时,由题意知邮资.

综上所述有

其中,分别表示不超过,的最大整数.

15.证:

（1）由得

解方程得,

因为,所以,

所以的反函数是

（2）由得,得;

所以函数的反函数为

16.解:

从而.

由得定义域为.

17.解:

当时,.

当n无限增大时,有三种变化趋势:

趋向于,趋向于0,趋向于.

当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.

18.解:

,要使,只须.取,则当时,必有.

当时,或大于1000的整数.

,要使

只要即即可.

取,则当时,有.

当时,或大于108的整数.

19.证:

要使,只要.取,则当n>

N时,恒有.故.

（2）,要使只要,取,则当n>

（3）,要使,只要,取,则当n>

N时,恒有,从而.

（4）因为对于所有的正整数n,有,故,不防设,要使只要取则当时,恒有故.

20.证:

由极限的定义知,,当时,恒有.

而

当时,恒有,

由极限的定义知

但这个结论的逆不成立.如但不存在.

21.解:

而,当时,

.

（2）记

则有

即

故

即.

（3）

故.

（4）

22.证:

（1）,不妨设,则

故对所有正整数n有,即数列有上界.

又

显然有,又由得,从而即,

即数列是单调递增的.

由极限的单调有界准则知,数列有极限.

设,则,于是,（不合题意,舍去）,.

（2）因为,且,

所以,即数列有界

又

由知与同号，

从而可推得与同号，

故,即

所以数列单调递增，由单调有界准则知，的极限存在.

设,则，

解得（不合题意，舍去）.

所以

23.证：

（1）,要使

只须,取，则当时，必有

（2）,要使

（3）,要使

只要取，则

当时，必有,

（4）,要使

只须，取，则

当时，必有

（5）,要使

24.解：

由无穷大与无穷小的关系知，.

（7）因为

由已知知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为，于是

且

解得.

25.解：

而而

（14）令则当时，.

所以（利用（13）题的结果）.

（16）令，则

而所以

26.解：

∴当时，是比高阶的无穷小量.

27.解：

∴当时，是与同阶的无穷小.

∴当时，是与等价的无穷小.

28.解：

（1）因为当时，

所以

（4）因为当时，,所以

（5）因为当时，所以

（7）因为当时，,所以

（8）因为当时，所以

（9）因为当时，,所以

（10）因为当时，，所以

（11）因为当时，所以

（12）因为当时，所以

（13）因为

而当时，

又当x→0进，所以

（14）因为当时，

29.解：

（6）令，则当时，.

30.解：

（1）令，则

于是：

即即即.

（2）令，则

于是

即即故

（3）令，则

即从而故

（4）令，则

即.

31.解：

因为

所以不存在.

因为不存在，所以不存在.

32.解：

（1）由初等函数的连续性知，在（0，1），（1，2）内连续，

而，在处连续，

又，由，知在处右连续，

综上所述，函数在[0，2）内连续.函数图形如下：

图1-2

（2）由初等函数的连续性知在内连续，又由

知不存在，于是在处不连续.

又由

及知，从而在x=1处连续，

综上所述，函数在及内连续，在处间断.函数图形如下：

图1-3

（3）∵当x<

0时，

当x=0时，

当x>

由初等函数的连续性知在内连续，

又由

知不存在，从而在处间断.综上所述，函数在内连续，在处间断.图形如下：

图1-4

（4）当|x|=1时，

当|x|<

1时，

当|x|>

由初等函数的连续性知在（－∞,－1）,（－1,1）,（1,+∞）内均连续，又由

知不存在，从而在处不连续.

综上所述，在（－∞,－1）,（－1,1）,（1,+∞）内连续，在处间断.

图形如下：

图1-5

33.解：

是函数的可去间断点.因为函数在x=1处无定义，若补充定义，则函数在x=1处连续；

x=2是无穷间断点.

当时，.

为可去间断点，分别补充定义f（0）=1,，可使函数在x=0,及处连续.（）;

为无穷间断点

（3）∵当时，呈振荡无极限，

∴x=0是函数的振荡间断点.（第二类间断点）.

∴x=1是函数的跳跃间断点.（第一类间断点.）

34.解：

∴补充定义可使函数在x=0处连续.

35.解：

（1）在上显然连续，而

且,

∴当，即时，在处连续，所以，当时，在上连续.

（2）在内显然连续.而

∴当，即时，在处连续，因而在上连续.

36.证：

令，则在[0,1]上连续，且,由零点定理，使即

即方程有一个小于1的正根.

37.证：

令，则在上连续，

且,

若，则就是方程的根.

若，则由零点定理得.

使即即，即是方程的根，综上所述，方程至少有一个不超过的正根.

38.证：

令,由在上连续知，在上连续，且

若则都是方程的根，

若，则，由零点定理知，至少,使,

即，即是方程的根，

综上所述，方程在内至少有一根.

39.证：

令,则在上连续，且

若，则若,则,若,则,由零点定理，至少存在一点,使即.

综上所述，至少存在一点，使.

..

40证:

已知在上连续，则在上有最大值M和最小值m，于是

由介值定理知，必有，使