高考椭圆大题专题分类Word文档下载推荐.doc

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x－y＋2＝0的距离d＝19所以△PAB的面积S＝2|AB|·

d＝2.y2x2?

x1y1?

2．（2013·

烟台一模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆C：

a2＋b2＝1（a＞b＞0）上两点，已知m＝?

b，a?

，n?

3?

x2y2?

＝?

，若m·

n＝0且椭圆的离心率e＝2，短轴长为2，O为坐标原点．?

|－3－2＋2|32＝2，2

（1）求椭圆的方程；

（2）△AOB的面积是否为定值？

如果是，请给予证明；

如果不是，请说明理由．解析a2－b2c3

（1）∵2b＝2，∴b＝1，∴e＝a＝a＝2.

y22∴a＝2，c＝3.∴椭圆的方程为4＋x＝1.

（2）①当直线AB的斜率不存在，即x1＝x2时，y1＝－y2，由m·

n＝0得又

22y12x1－＝0，∴y1＝4x21.

4

224x1A（x1，y1）在椭圆上，∴x1＋＝1，

211∴|x1|＝2，|y1|＝2，△AOB的面积S＝2|x1||y1－y2|＝2|x1|·

2|y1|＝1.y22②当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋b（其中b≠0），代入4＋x＝1，得（k2＋4）x2＋2kbx＋b2－4＝0.

Δ＝（2kb）2－4（k2＋4）（b2－4）＝16（k2－b2＋4），

－2kbb2－4x1＋x2＝2，x1x2＝2，k＋4k＋4y1y2由已知m·

n＝0得x1x2＋4＝0，（kx1＋b）（kx2＋b）∴x1x2＋＝0，代入整理得2b2－k2＝4，代入Δ中，满足题意，4|b|4k2－4b2＋161|b|14b22∴△AOB的面积S＝2·

|AB|＝2|b|·

（x1＋x2）－4x1x2＝＝2|b|＝1.k2＋41＋k2∴△AOB的面积为定值1x2y233、已知椭圆C：

a2＋b2＝1（a＞b＞0）的离心率为2.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程。

解析3c32322321因为椭圆的离心率为2，所以e＝a＝2，c＝4a，c＝4a＝a2－b2，所以b2＝4a2，即a2＝4b2.

x2x2x2x25x242双曲线的渐近线方程为y＝±

x，代入椭圆方程得a2＋b2＝1，即4b2＋b2＝4b2＝1，所以x2＝5b2，x＝±

52?

42?

2b，y2＝5b2，y＝±

b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为?

b，b?

，所以四边5?

5522162x2y22形的面积为4×

b×

b＝5b＝16，所以b＝5，所以椭圆方程为20＋5＝1.55

二、求动点的轨迹方程41．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.5

（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

4

（2）求过点（3,0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．5解

（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（xP，yP），

P

?

x＝x，由已知得?

5y＝y，?

4

5?

∵P在圆上，∴x2＋?

y?

2＝25，?

4?

即C的方程为＋＝1.251644

（2）过点（3,0）且斜率为的直线方程为y＝（x－3），设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），554x2?

x－3?

2将直线方程y＝（x－3）代入C的方程，得＋＝1，52525即x2－3x－8＝0.∴x1＝3－413＋41，x2＝.22

x2

y2

∴线段AB的长度为|AB|＝?

x1－x2?

2＋?

y1－y2?

2＝＝16?

1＋?

225?

4141×

41＝.255

三、求椭圆的焦距以及方程x2y21．设F1，F2分别为椭圆C：

0）的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°

，F1到直线l的距离为23.

（1）求椭圆C的焦距；

→＝2F→

（2）如果AF22B，求椭圆C的方程．解

（1）设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离3c＝23，故c＝2.

所以椭圆C的焦距为4.→＝2F→

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由AF，知y1<

0，y2>

0，22B及l的倾斜角为60°

直线l的方程为y＝3（x－2）．

y＝3?

x－2?

，?

x2y22＋2＝1?

ab

消去x，

整理得（3a2＋b2）y2＋43b2y－3b4＝0.－3b2?

2＋2a?

－3b2?

2－2a?

解得y1＝，y2＝.3a2＋b23a2＋b2→＝2F→因为AF22B，所以－y1＝2y2，即3b2?

＝2·

，解得a＝3.3a2＋b23a2＋b2

而a2－b2＝4，所以b2＝5.x2y2故椭圆C的方程为9＋5＝1.

四、求椭圆方程及定点在椭圆上

x2y231．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

0）的离心率为2，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点P（0,1），Q（0,2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：

点T在椭圆C上．

（1）解由题意知，b＝2＝2.2?

c?

11－?

a?

2＝2.?

c3b因为离心率e＝a＝2，所以a＝所以a＝22.x2y2所以椭圆C的方程为8＋2＝1.

（2）证明

由题意可设M，N的坐标分别为（x0，y0），（－x0，y0），①②

y0－1则直线PM的方程为y＝xx＋1，0直线QN的方程为y＝法一y0－2x＋2.－x03y0－4x0，y＝，2y0－32y0－3

联立①②解得x＝

3y0－4?

x2?

x0y2002，?

.由＋＝1，可得x2即T?

0＝8－4y0.822y－32y－3?

00?

221?

x0?

21?

2x0＋4?

＝因为8?

2y－3?

＋2?

8?

2y0－3?

2?

0?

228－4y232y20＋4?

0－96y0＋728?

＝＝＝＝1，8?

28?

2

所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．法二设T（x，y），联立①②解得x0＝3y－4x，y0＝.2y－32y－3

2x21?

x?

1?

3y－4?

20y0?

＝1.因为8＋2＝1，所以8?

2y－3?

2＋2?

2x2?

整理得8＋2＝（2y－3）2，

x29y2x2y22所以8＋2－12y＋8＝4y－12y＋9，即8＋2＝1.所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．

五、求椭圆的离心率及椭圆与直线的关系

1．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；

（2）过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．解x2y2

（1）如图，设所求椭圆的标准方程为a2＋b2＝1（a＞b＞0），右焦点为F2（c,0）．

因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，c因此|OA|＝|OB2|，得b＝2.结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，c2故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝a＝55.在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，1c故S△AB1B2＝2·

|B1B2|·

|OA|＝|OB2|·

|OA|＝2·

b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.x2y2因此所求椭圆的标准方程为：

20＋4＝1.

（2）由

（1）知B1（－2,0），B2（2,0）．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得（m2＋5）y2－4my－16＝0.设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1，y2是上面方程的两根，

4m16因此y1＋y2＝2，y1·

y2＝－2，m＋5m＋5→→又B2P＝（x1－2，y1），B2Q＝（x2－2，y2），→→所以BB2P·

2Q＝（x1－2）（x2－2）＋y1y2＝（my1－4）（my2－4）＋y1y2＝（m2＋1）y1y2－4m（y1＋y2）＋1616?

m2＋1?

16m216m2－64＝－－2＋16＝－2，m2＋5m＋5m＋5→→由PB2⊥QB2，得BB2P·

2Q＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±

2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.

浙江省历年高考曲线椭圆大题总汇（题目及答案）90

y2x2；

1已知椭圆C1:

2?

1（a