小学奥数计数专题几何计数文档格式.docx

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二、解答题（题型注释）

2、用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?

3、如图，用长短相同的火柴棍摆成3×

1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?

4、图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?

5、如图，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？

6、如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．

7、如图，18个边长相等的正方形组成了一个3×

6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?

8、图是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个?

9、图中共有多少个三角形?

10、图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?

11、如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?

12、在图中，共有多少个不同的三角形?

13、如图，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?

14、如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?

15、如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?

16、如图，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?

17、数一数下列图形中各有多少条线段.

18、数出下图中总共有多少个角.

19、数一数下图中总共有多少个角？

20、如下图中，各个图形内各有多少个三角形？

21、如下图中，数一数共有多少条线段？

共有多少个三角形？

22、如右图中，共有多少个角？

23、在图中（单位：

厘米）：

①一共有几个长方形?

②所有这些长方形面积的和是多少?

24、图中共有多少个三角形？

25、一个圆上有12个点A1，A2，A3，…，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?

参考答案

1、48,360

2、630

3、13975

4、121

5、216

6、100，10664

7、36

8、130

9、22

10、6

11、20

12、85

13、11

14、32

15、200

16、12

17、15

18、10

19、55

20、

（1）6

（2）10

21、60,30

22、13

23、100,12384

24、118

25、55

【解析】

1、含☆的一行内所有可能的长方形有：

（八种）

含☆的一列内所有可能的长方形有：

（六种）

所以总共长方形有个，面积总和为。

2、把大的等边三角形分为20“层”分别计算火柴的根数：

最上一“层”只用了3根火柴；

从上向下数第二层用了3×

2＝6根火柴；

从上向下数第三层用了3×

3＝9根火柴；

……

从上向下数第20层用了3×

20＝60根火柴．

所以，总共要用火柴3×

（1+2+3+…+20）＝630根．

3、横放需1996×

4根，竖放需1997×

3根，共需1996×

4+1997×

3＝13975根．

4、把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如下图．平行四边形中棋孔数为9×

9＝81，每个小三角形中有10个棋孔，所以棋孔共有81+10×

4＝121个．

或直接数出有121个．

5、如图AB＝6，组成△AOB需要边长为1的正三角形共：

1+3+5+7+9+11＝36个，而拼成边长为6的正六边形需要6个△AOB，因此总共需要边长为1的正三角形36×

6＝216个．

6、确定好长方形的长和宽，长方形就唯一确定，而图中只需确定好横向线段，竖向线段，即可．

于是横向线段有（1+2+3+4）＝10种选法，竖向线段也有（1+2+3+4）＝10种选法，则共有10×

10＝100个长方形．

这些长方形的面积和为：

（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）×

（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）＝124×

86＝10664（平方厘米）．

7、我们把所求的长、正方形按占有的行数分为三类，每类的长、正方形的个数相等．

其中只占有下面一行的有如下12种情况：

于是共有12×

3＝36个正、长方形包含“*”．

8、每个4×

4正方形中有：

边长为1的正方形4×

4个；

边长为2的正方形3×

3个；

边长为3的正方形2×

2个，边长为4的正方形1×

1个．

总共有4×

4+3×

3+2×

2+1×

1＝30个正方形．

现在5个4×

4的正方形，它们重叠部分是4个2×

2的正方形．因此，图中正方形的个数是30×

5－5×

4＝130．

9、边长为1的正三角形，有16个．边长为2的正三角形，尖向上的有3个，尖向下的也有3个．因此共有16+3+3＝22个．

10、设小正三角形的边长为1，分三类计算计数包含*的三角形中，

边长为1的正三角形有1个；

边长为2的正三角形有4个，边长为3的正三角形有1个；

因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1+4+1＝6个．

11、图中共有三角形（1+2+3+4）×

4＝40个，梯形（1+2+3+4）×

（1+2+4）＝60个，梯形比三角形多60－40＝20个．

12、下图中共有35个三角形，两个叠加成题中图形时，又多出5+5×

2＝15个三角形，共计35×

2+15＝85个三角形．

13、按正方形的面积分类，设最小的正方形面积为1，

面积为1的正方形有5个，如图a所示；

面积为2的正方形有4个，如图b所示；

面积为4的正方形有1个，如图c所示；

还有1个面积比4大的正方形，如图d所示；

于是，一共可以构成5+4+1+1＝11个不同的正方形．

14、我们分三种情况来找面积为1平方厘米的三角形，这些三角形的底与高分别为1厘米或2厘米，利用正方形的对称性：

（1）等腰直角三角形，如下图a所示有△AOC，△COE，△EOG，△GOA，△BOH，△DFB，△FHD，△HBF，共计8个，其中以AC，CF，FG，GA为底的各一个，以BF，DH为底的各两个．

（2）直角三角形，如图b所示有△ACH，△CHD，△ACD，△DHA，△BEF，△BCE，△CEF，△CFB，△DEG，△DGH，△EGH，△EHD，△GAB，△GBF，△FAB，△FGA，共计16个，其中以AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB为斜边的各两个．

（3）钝角三角形，如图c所示有△ABE，△AHE，△ADE，△AFE，△CBG，△CFG，△CDG，△CHG共计8个，其中以AE、CG为边的各四个．

于是，综上所述，共有面积为1平方厘米的三角形32个．

15、我们先任意选取三个点，那么第1个点有12个位置可以选择，第2个点有11个位置可以选择，第3个点有10个位置可以选择，但是每6种选法对应的都是同一个图形，如下图，ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA均是同一个图形．

所以有12×

11×

10÷

6＝220种选法，但是如果这3点在同一条直线上就无法构成三角形，其中每行有4种情况，共3×

4；

每列有1种情况，共1×

2个边长为2的正方形的4条对角线，共4种情况．

所以，可以套出220－3×

4－1×

4－4＝200个不同的三角形．

16、如果暂时不考虑点之间的排列位置关系，从7个点中任取4个点，则第一个点有7个位置可选，第二个点有6个位置可选，第三个点有5个位置可选，第四个点有4个位置可选，而不考虑先后，那么有4×

3×

2×

1＝24种选法的实质是一样的，所有可能的组合数目应该是（7×

6×

5×

4）÷

24＝35．我们只要从中减去不能构成四边形的情形．

对图19-16而言，任取4个点而又不构成四边形的情形只能发生在所取的4个点中有3个来自正方形ACEG的一条边，而另一个则任意选取的时候，例如选定A、B、C3点，第4个点无论如何选取都不能构成四边形．

正方形的4条边中有3条都存在这样的情况．而每次这种情况发生时，第4个顶点的选取有4种可能．

所取的顶点只有4个，因此不可能出现同时选择了2条有3点共线的边的情况．

那么需要排除的情况有4×

3＝12种．

所以，满足题意的四边形个数有35－12＝23个．

17、要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.

第一种：

按照线段的端点顺序去数，如上图

（1）中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图

（1）中共有线段2＋1＝3条.同样按照从左至右的顺序观察图

（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图

（2）中共有线段为3＋2＋1＝6条.

第二种：

按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图

（2）中，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有多少条线段？

首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：

AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？

按照基本线段多少的顺序是：

首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10条.

解：

①2＋1＝3（条）.

②3＋2＋1＝6（条）.

③4＋3＋2＋1＝10（条）.

小结：

上述三例说明：

要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：

线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段AF上所有点数（包括